《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

5. (2024·湖北中考)如图，点A的坐标为(－4，6)，将线段绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是( ).

A. (4，6)
B. (6，4)
C. (－6，－4)
D. (－4，－6)

答案： B

6. (2024·雅安中考)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是________.

答案： 60°或120°

7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)至AD，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC. 求证：
(1)DE＝CE；
(2)BD＋2CE＝ $\sqrt{2}$AE.

答案：

(1)
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE = ∠CAE.
∵AB = AC，AD = AB，
∴AD = AC.
在△ADE和△ACE中，$\begin{cases}AD = AC,\\∠DAE = ∠CAE,\\AE = AE,\end{cases}$
∴△ADE≌△ACE(SAS)，
∴DE = CE.
(2)如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，

∴∠ABF = ∠ACE，AF = AE，BF = CE，∠EAF = 90°.
∵△ADE≌△ACE，
∴∠ADE = ∠ACE.
∵AB = AD，
∴∠ABD = ∠ADB.
∵∠ADB + ∠ADE = 180°，
∴∠ABD + ∠ACE = 180°，
∴∠ABD + ∠ABF = 180°，
∴点E，B，F共线，
∴$EF=\sqrt{2}AE，$
∴$FB + BD + DE=\sqrt{2}AE，$
∴$BD + 2CE=\sqrt{2}AE.$本题考查了利用旋转变换作图、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

8. 中考新考法 开放探究型问题 [问题原型]如图(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a. 将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD. 过点D作△BCD边BC上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为$\frac{1}{2}$a².
[初步探究]如图(2)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a. 将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD. 用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由；
[简单应用]如图(3)，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a. 将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD. 直接写出△BCD的面积. (用含a的代数式表示)

答案：
[初步探究]△BCD的面积为$\frac{1}{2}a².$理由如下：
如图
(1)，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E，
∴∠BED = ∠ACB = 90°.
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB = BD，∠ABD = 90°，
∴∠ABC + ∠DBE = 90°.
∵∠A + ∠ABC = 90°，

∴∠A = ∠DBE.
在△ABC和△BDE中，$\begin{cases}∠ACB = ∠E,\\∠A = ∠DBE,\\AB = BD,\end{cases}$
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴BC = DE = a，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC·DE=\frac{1}{2}a·a=\frac{1}{2}a².[$简单应用$]S_{△BCD}=\frac{1}{4}a².$理由如下：
如图
(2)，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E.

∴∠AFB = ∠E = 90°，
∴∠FAB + ∠ABF = 90°.
∵∠ABD = 90°，
∴∠ABF + ∠DBE = 90°，
∴∠FAB = ∠EBD.
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB = BD.
在△AFB和△BED中，$\begin{cases}∠AFB = ∠E,\\∠FAB = ∠EBD,\\AB = BD,\end{cases}$
∴△AFB≌△BED(AAS)，
∴BF = DE.
∵AB = AC，AF⊥BC，
∴$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a，$
∴$DE = BF=\frac{1}{2}a，$
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC·DE=\frac{1}{2}a·\frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a².$