《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

9（2024·内江中考）如图，在△ABC中，∠ABC = 60°，BC = 8，E是BC边上一点，且BE = 2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE + PC的最小值为________.

答案：
9. $2\sqrt{13}$ [解析]如图，在AB上取点F，使BF = BE = 2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H。
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠CBD。
又BP = BP，
∴△BFP≌△BEP(SAS)，
∴PF = PE，
∴PE + PC = PF + PC≥CF，
∴当C，P，F三点共线时，PE + PC最小，最小值为CF的长。
∵FH⊥BC，∠ABC = 60°，
∴∠BFH = 30°，
∴BH = $\frac{1}{2}BF = 1$，
∴在Rt△BFH中，FH = $\sqrt{BF^{2}-BH^{2}}=\sqrt{3}$，CH = BC - BH = 7，
∴在Rt△CFH中，CF = $\sqrt{CH^{2}+FH^{2}}=2\sqrt{13}$，
∴PE + PC的最小值为$2\sqrt{13}$。

10（中考新考法 分类讨论）若一个直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边的长.

答案： 10. 设第三边长为x。当第三边为斜边时，x = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。当第三边为直角边时，x = $\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。综上，第三边的长为5或$\sqrt{7}$。

11（新情境 飞机洒水扑灭火灾）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600 m和800 m，又AB = 1000 m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响.
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13 s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭.

答案：
11.
(1)着火点C受洒水影响. 理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
由题意知AC = 600 m，BC = 800 m，AB = 1 000 m，
∵AC² + BC² = 600² + 800² = 1 000²，AB² = 1 000²，
∴AC² + BC² = AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}CD\cdot AB$，
∴600×800 = 1 000 CD，
∴CD = 480 m.
∵飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响.

(2)如图，当EC = FC = 500 m时，飞机正好喷到着火点C.
∵CE = CF，CD⊥EF，
∴DE = DF.
在Rt△CDE中，ED² = EC² - CD² = 500² - 480² = 19 600，
∴ED = 140 m，
∴EF = 280 m.
∵飞机的速度为10 m/s，
∴280÷10 = 28(s).
∵28 s＞13 s，
∴着火点C能被扑灭.

5.复习题T9·变式 有理数a与b在数轴上的位置如图所示，请用“＞”或“＜”填空：

①a________0；②b________0；③a________b；
④a - b________0.

答案：

①<②>③<④<

1　教材P31例3·变式(2024·青海中考)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD = 2，则点P到OA的距离是(　　　).


A. 4　　　
　B. 3　　　
　C. 2　　　
　D. 1

答案： C

12（中考新考法 数形结合）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象.数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”.利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算.
（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系.请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B = ∠D = ∠ACE = 90°（点B，C，D在一条直线上），AB = CD = b，BC = DE = a，AC = EC = c.证明：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
（2）请利用“数形结合”思想，画图推算出$(a + b + c)^{2}$的结果.

答案：
12.
(1)梯形ABDE的面积 = $2\times\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，
梯形ABDE的面积 = $\frac{(a + b)\times(a + b)}{2}$，
∴$2\times\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{(a + b)\times(a + b)}{2}$，
化简可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
(2)如图，
大正方形的面积 = $(a + b + c)^{2}$，
大正方形的面积 = $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$，
∴$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$。