《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

9 某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服A和B共80套，预计前期投入资金不少于20 900元，但不超过20 960元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表:

(1)该厂家有几种生产新校服的方案可供选择?
(2)该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少?
(3)经市场调查，年底前每套B款校服售价不会改变，而每套A款校服的售价将会提高m元(m＞0)，且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢?

答案：
(1)设厂家生产$A$款校服$x$套，则生产$B$款校服$(80 - x)$套.
根据题意，得$\begin{cases}250x + 280(80 - x)\geqslant20900,\\250x + 280(80 - x)\leqslant20960\end{cases}$
解得$48\leqslant x\leqslant50$.
$\because x$为整数，$\therefore x$只能取48，49，50.
∴厂家共有三种方案可供选择，分别是：
方案一：生产$A$款校服48套，生产$B$款校服32套；
方案二：生产$A$款校服49套，生产$B$款校服31套；
方案三：生产$A$款校服50套，生产$B$款校服30套.
(2)设总利润为$y$元，则$y=(300 - 250)x+(340 - 280)(80 - x)=4800 - 10x$.
$\because - 10＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小.
∴当$x$取最小值时，$y$的值最大，
∴当$x$取48时，$y$取得最大值为$4800 - 10\times48 = 4320$（元）.
故该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为4320元.
(3)由题可知$y=(300 - 250 + m)x+(340 - 280)\times(80 - x)=(m - 10)x + 4800$，
∴分为三种情况：①当$0＜m＜10$时，安排生产$A$款校服48套，可获得最大利润；
②当$m = 10$时，怎么安排生产利润总是定值4800元；
③当$m＞10$时，安排生产$A$款校服50套，可获得最大利润.

10 新情境 猴头菇生产“黄金地带” (2024·牡丹江中考)牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位. 某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元. 请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元?
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1 560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案?
(3)在(2)的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a(a为正整数)折售出，最终获利1 577元，请直接写出商店的进货方案.

答案：
(1)设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是$x$元和$y$元，
则$\begin{cases}3x + 2y = 420,\\4x + 5y = 910\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 40,\\y = 150\end{cases}$
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元.
(2)设商店计划购进特级鲜品猴头菇$m$箱，则购进特级干品猴头菇$(80 - m)$箱，
则$\begin{cases}(50 - 40)m+(80 - m)(180 - 150)\geqslant1560,\\80 - m\leqslant40\end{cases}$
解得$40\leqslant m\leqslant42$，
$\because m$为正整数，$\therefore m = 40,41,42$.
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱.
(3)当购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意，得$(40 - 1)\times(50 - 40)+(40 - 1)\times(180 - 150)+(50\times\frac{a}{10}-40)+(180\times\frac{a}{10}-150)=1577$，解得$a = 9$；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意，得$(41 - 1)\times(50 - 40)+(39 - 1)\times(180 - 150)+(50\times\frac{a}{10}-40)+(180\times\frac{a}{10}-150)=1577$.
解得$a\approx9.9$（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得$(42 - 1)\times(50 - 40)+(38 - 1)\times(180 - 150)+(50\times\frac{a}{10}-40)+(180\times\frac{a}{10}-150)=1577$，
解得$a\approx10.7$（不符合要求）.
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱.