《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

9. 中考新考法 证明代数结论 若$x = \frac{a + b}{a - b}$，$y = \frac{b + c}{b - c}$，$z = \frac{c + a}{c - a}$，设$M = (x + 1)(y + 1)(z + 1)$，$N = (x - 1)(y - 1)(z - 1)$．
(1)请你任意给出一组a，b，c的值，计算出M和N的值；
(2)猜想M和N的大小关系，并证明.

答案： （1）当$a = 1$，$b = 0$，$c = - 1$时（取值不唯一，$a$，$b$，$c$互不相等即可），$x=\frac{a + b}{a - b}=1$，$y=\frac{b + c}{b - c}=-1$，$z=\frac{c + a}{c - a}=0$，
$\therefore M=(x + 1)(y + 1)(z + 1)=(1 + 1)×(-1 + 1)×(0 + 1)=0$，
$N=(x - 1)(y - 1)(z - 1)=(1 - 1)×(-1 - 1)×(0 - 1)=0$.
（2）猜想$M = N$. 证明如下：$M=(x + 1)(y + 1)(z + 1)$
$=(\frac{a + b}{a - b}+1)(\frac{b + c}{b - c}+1)(\frac{c + a}{c - a}+1)$
$=\frac{2a}{a - b} \cdot \frac{2b}{b - c} \cdot \frac{2c}{c - a}=\frac{8abc}{(a - b)(b - c)(c - a)}$，
$N=(x - 1)(y - 1)(z - 1)$
$=(\frac{a + b}{a - b}-1)(\frac{b + c}{b - c}-1)(\frac{c + a}{c - a}-1)$
$=\frac{2b}{a - b} \cdot \frac{2c}{b - c} \cdot \frac{2a}{c - a}=\frac{8abc}{(a - b)(b - c)(c - a)}$，
$\therefore M = N$.

10. 新情境 运送货物 现有大小两艘轮船，小船每天运x吨货物，大船比小船每天多运10吨货物. 现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务.
(1)分别写出大船、小船完成任务用的时间；
(2)试说明哪艘轮船完成任务用的时间少.

答案： （1）大船完成任务的时间为$\frac{100}{x + 10}$天，
小船完成任务的时间为$\frac{80}{x}$天.
（2）由题意，得$\frac{100}{x + 10}-\frac{80}{x}=\frac{20x - 800}{x(x + 10)}=\frac{20(x - 40)}{x(x + 10)}$，
$\therefore$当$x＞40$时，小船所用时间少；
当$x = 40$时，两船所用时间相同；
当$0＜x＜40$时，大船所用时间少.

11. 已知$(y - z)^{2} + (x - y)^{2} + (z - x)^{2} = (y + z - 2x)^{2} + (z + x - 2y)^{2} + (x + y - 2z)^{2}$，求$\frac{(yz + 1)(xz + 1)(xy + 1)}{(x^{2} + 1)(y^{2} + 1)(z^{2} + 1)}$的值.

答案： $\because (y - z)^2+(x - y)^2+(z - x)^2=(y + z - 2x)^2+(z + x - 2y)^2+(x + y - 2z)^2$，
$\therefore (y - z)^2-(y + z - 2x)^2+(x - y)^2-(x + y - 2z)^2+(z - x)^2-(z + x - 2y)^2 = 0$，$\therefore (y - z + y + z - 2x)(y - z - y - z + 2x)+(x - y + x + y - 2z) \cdot (x - y - x - y + 2z)+(z - x + z + x - 2y)(z - x - z - x + 2y)=0$，
$\therefore 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz = 0$，
$\therefore (x - y)^2+(x - z)^2+(y - z)^2 = 0$.
$\because x$，$y$，$z$均为实数，$\therefore x = y = z$，
$\therefore \frac{(yz + 1)(xz + 1)(xy + 1)}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)}$
$=\frac{(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)}=1$.

12. 中考新考法 分类讨论 甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线走向离学校s km的军训某地参加训练. 甲班有一半路程以$v_{1}$ km/h的速度行走，另一半路程以$v_{2}$ km/h的速度行走；乙班有一半时间以$v_{1}$ km/h的速度行走，另一半时间以$v_{2}$ km/h的速度行走. 设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为$t_{1}$ h，$t_{2}$ h.
(1)试用含s，$v_{1}$，$v_{2}$的代数式表示$t_{1}$和$t_{2}$；
(2)请你判断甲、乙两班哪一个班的同学先到达军训基地，并说明理由.

答案： （1）$t_1=\frac{s(v_1 + v_2)}{2v_1v_2}$，$t_2=\frac{2s}{v_1 + v_2}$.
（2）$\because t_1 - t_2=\frac{s(v_1 + v_2)}{2v_1v_2}-\frac{2s}{v_1 + v_2}=\frac{s(v_1 - v_2)^2}{2v_1v_2(v_1 + v_2)}$，而$s$，$v_1$，$v_2$都大于0，
$\therefore$当$v_1 = v_2$时，$t_1 - t_2 = 0$，即$t_1 = t_2$；
当$v_1\neq v_2$时，$t_1 - t_2＞0$，即$t_1＞t_2$.
综上所述，当$v_1 = v_2$时，甲、乙两班同学同时到达军训基地；当$v_1\neq v_2$时，乙班同学先到达军训基地.