《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

10 如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE = CF.
(1)试证明△ABE≌△CDF.
(2)BE与DF平行吗? 为什么?
　　　　　　　　　　　　

答案： 10.
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = DC，AB//DC，
∴∠BAE = ∠DCF.
∵AE = CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)BE//DF. 理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB = ∠CFD，
∴∠BEC = ∠AFD，
∴BE//DF.

11 原创素养题 推理能力 如图，在□ABCD中，E为AD中点，CE交BA的延长线于点F.
(1)AB与AF相等吗? 说说你的理由.
(2)若BC = 2AB，∠FBC = 70°，求∠EBC的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 11.
(1)AB = AF. 理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB = CD，DC//AB.
∴∠ECD = ∠EFA.
∵E为AD中点，
∴DE = AE. 又∠DEC = ∠AEF，
∴△DEC≌△AEF.
∴DC = AF.
∴AB = AF.
(2)
∵BC = 2AB，AB = AF，
∴BC = BF.
∴△FBC为等腰三角形.
由
(1)知，△DEC≌△AEF，
∴EC = EF.
∴∠EBC = ∠EBF = $\frac{1}{2}$∠FBC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°.

12 如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A = 45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE = DF，连接EF交BD于点O.
(1)求证：BO = DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG = 1时，求AE的长.
　　　　　　　　　　　

答案： 12.
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠OBE = ∠ODF.
在△OBE与△ODF中，$\begin{cases}∠BOE = ∠DOF \\ ∠OBE = ∠ODF \\ BE = DF\end{cases}$，
∴△OBE≌△ODF(AAS).
∴BO = DO.
(2)
∵EF⊥AB，AB//DC，
∴∠GEA = ∠GFD = 90°.
∵∠A = 45°，
∴∠G = ∠A = 45°，
∴AE = GE.
∵BD⊥AD，
∴∠ADB = ∠GDO = 90°.
∴∠GOD = ∠G = 45°.
∴DG = DO.
∴OF = FG = 1.
由
(1)可知，OE = OF = 1，
∴GE = OE + OF + FG = 3.
∴AE = 3.

13 中考新考法 数形结合 如图，点E在平行四边形ABCD内部，连接AE，BE，CE，DE，过点A作AF//BE交CB延长线于点F，过点D作DG//CE交FA的延长线于点G.
(1)求证：△BCE≌△ADG；
(2)设□ABCD的面积为S，四边形AEDG的面积为T，请直接写出$\frac{S}{T}$的值.
　　　　　　　　　　　

答案：
13.
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC = AD，
∴∠DAG = ∠F，∠BCD + ∠ADC = 180°，
即∠BCE + ∠DCE + ∠ADC = 180°.
∵AF//BE，
∴∠F = ∠CBE，
∴∠CBE = ∠DAG.
∵DG//CE，
∴∠DCE + ∠GDC = 180°，
即∠DCE + ∠ADC + ∠ADG = 180°.
∴∠BCE = ∠ADG.
在△BCE和△ADG中，$\begin{cases}∠CBE = ∠DAG \\ BC = AD \\ ∠BCE = ∠ADG\end{cases}$，
∴△BCE≌△ADG(ASA).
(2)如图，过点E作MN⊥AD，交AD于点M，交BC于点N，

则$S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}AD\cdot EM+\frac{1}{2}BC\cdot EN=\frac{1}{2}BC\cdot(EM + EN)=\frac{1}{2}BC\cdot MN=\frac{1}{2}S_{\square ABCD}$.
由
(1)，得△BCE≌△ADG，
∴$S_{\triangle BCE}=S_{\triangle ADG}$.
∴$S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BCE}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle ADG}=S_{四边形AECG}=\frac{1}{2}S_{\square ABCD}$.
∴$\frac{S}{T}=2$.