《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

12. 若关于x的不等式组$\begin{cases}x ＞ 2m \\ x≥m - 3\end{cases}$的最小整数解为1，则m的取值范围是(　　　)．
A. - 3≤m＜1
B. 0≤m＜$\frac{1}{2}$
C. 3＜m≤4
D. 0≤m＜$\frac{1}{2}$或3＜m≤4

答案： 12.B

13. 如果关于x的不等式组$\begin{cases}x - a≤0 \\ 2x + 3a＞0\end{cases}$的解集中至少有5个整数解，那么正数a的最小值是多少？

答案： 13.$\begin{cases}x - a\leqslant 0,①\\2x + 3a＞0,②\end{cases}$
解①，得$x\leqslant a$，解②，得$x＞-\frac{3}{2}a$，
则不等式组的解集是$-\frac{3}{2}a＜x\leqslant a$。
$\because$不等式组至少有5个整数解，
$\therefore a+\frac{3}{2}a\geqslant 5$，解得$a\geqslant 2$，$\therefore a$的最小值是2。

14. 已知不等式组$\begin{cases}3x + a＜2(x + 2) \\ -\frac{1}{3}x＜\frac{5}{3}x + 2\end{cases}$有解但没有整数解，求a的取值范围．

答案： 14.解不等式$3x + a＜2(x + 2)$，得$x＜4 - a$，
解不等式$-\frac{1}{3}x＜\frac{5}{3}x + 2$，得$x＞- 1$，
则不等式组的解集为$- 1＜x＜4 - a$。
$\because$该不等式组有解但没有整数解，
$\therefore - 1＜4 - a\leqslant 0$，解得$4\leqslant a＜5$。

15. 已知关于x的不等式4(x + 2) - 2＞5 + 3a的解都能使不等式$\frac{(3a + 1)x}{3}＞\frac{a(2x + 3)}{2}$成立，求a的取值范围．

答案： 15.解不等式$4(x + 2)-2＞5 + 3a$，得$x＞\frac{3a - 1}{4}$。
解不等式$\frac{(3a + 1)x}{3}＞\frac{a(2x + 3)}{2}$，得$x＞\frac{9a}{2}$，
由题意，得$\frac{3a - 1}{4}\geqslant\frac{9a}{2}$，解得$a\leqslant-\frac{1}{15}$。

16. 对x，y定义一种新运算T，规定T(x，y)=$\frac{ax + by}{2x + y}$(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)=$\frac{a×0 + b×1}{2×0 + 1}$=b.已知T(1， - 1)= - 2，T(4，2)=1.
(1)求a，b的值；
(2)若关于m的不等式组$\begin{cases}T(2m,5 - 4m)≤4 \\ T(m,3 - 2m)＞p\end{cases}$恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．

答案： 16.
(1)由题意，得$\begin{cases}\frac{a\times 1 + b\times(- 1)}{2\times 1 - 1}=- 2\\\frac{a\times 4 + b\times 2}{2\times 4 + 2}=1\end{cases}$，
即$\begin{cases}a - b=- 2\\4a + 2b = 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 3\end{cases}$。
(2)由
(1)，得$T(x,y)=\frac{x + 3y}{2x + y}$，则不等式组$\begin{cases}T(2m,5 - 4m)\leqslant 4\\T(m,3 - 2m)＞p\end{cases}$可化为$\begin{cases}- 10m\leqslant 5\\- 5m＞3p - 9\end{cases}$，
解得$-\frac{1}{2}\leqslant m＜\frac{9 - 3p}{5}$。
$\because$不等式组$\begin{cases}T(2m,5 - 4m)\leqslant 4\\T(m,3 - 2m)＞p\end{cases}$恰好有3个整数解，
$\therefore 2＜\frac{9 - 3p}{5}\leqslant 3$，解得$- 2\leqslant p＜-\frac{1}{3}$。