《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

11. 跨学科 照相机成像 照相机成像应用了一个重要原理，用公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v\neq f)$表示，其中$f$表示照相机镜头的焦距，$u$表示物体到镜头的距离，$v$表示胶片(像)到镜头的距离. 已知$f$，$v$，则$u$等于（ ）.
A. $\frac{fv}{f - v}$
B. $\frac{f - v}{fv}$
C. $\frac{fv}{v - f}$
D. $\frac{v - f}{fv}$

答案： C

12. (2024·湖南中考)先化简，再求值：$\frac{x^{2}-4}{x^{2}}\cdot\frac{x}{x + 2}+\frac{3}{x}$，其中$x = 3$.

答案： $\frac{x^{2}-4}{x^{2}}\cdot\frac{x}{x + 2}+\frac{3}{x}=\frac{(x + 2)(x - 2)}{x^{2}}\cdot\frac{x}{x + 2}+\frac{3}{x}=\frac{x - 2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{x + 1}{x}$，当$x = 3$时，原式$=\frac{3 + 1}{3}=\frac{4}{3}$.

13. 中考新考法 证明代数结论 已知$x=\frac{a + b}{2a}$，$y=\frac{2b}{a + b}(a,b$都是正数).
(1)计算：$2x-\frac{1}{2}y$；
(2)若$x = y$，请说明$a = b$；
(3)设$M=\frac{3}{x}+y$，且$M$为正整数，试用等式表示$a$，$b$之间的关系.

答案：
(1)$2x-\frac{1}{2}y=\frac{a + b}{a}-\frac{b}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-ab}{a(a + b)}=\frac{a^{2}+ab + b^{2}}{a^{2}+ab}$.
(2)
∵$x = y$，
∴$\frac{a + b}{2a}=\frac{2b}{a + b}$，
∴$(a + b)^{2}=4ab$，
∴$(a - b)^{2}=0$，
∴$a - b = 0$，
∴$a = b$.
(3)$M=\frac{3}{x}+y=\frac{6a}{a + b}+\frac{2b}{a + b}=\frac{4a}{a + b}+2=\frac{4}{1+\frac{b}{a}}+2$.
∵$M$是正整数，$a$，$b$都是正数，
∴$1+\frac{b}{a}=2$或$1+\frac{b}{a}=4$或$1+\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{b}{a}=1$或$\frac{b}{a}=3$或$\frac{b}{a}=\frac{1}{3}$，
∴$b = a$或$b = 3a$或$a = 3b$.

14. 中考新考法 新定义问题 定义：若分式$M$与分式$N$的差等于它们的积，即$M - N = MN$，则称分式$N$是分式$M$的“关联分式”. 例如$\frac{1}{x + 1}$与$\frac{1}{x + 2}$，因为$\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2}=\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$，$\frac{1}{x + 1}\cdot\frac{1}{x + 2}=\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$，所以$\frac{1}{x + 2}$是$\frac{1}{x + 1}$的“关联分式”.
(1)已知分式$\frac{2}{a^{2}-1}$，则$\frac{2}{a^{2}+1}$_______$\frac{2}{a^{2}-1}$的“关联分式”(填“是”或“不是”).
(2)小明在求分式$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$的“关联分式”时，用了以下方法：设$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$的“关联分式”为$N$，根据题意，$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}-N=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot N$，
$\therefore(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+1)N=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$，
$\therefore N=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}$.
请你仿照小明的方法求分式$\frac{a - b}{2a + 3b}$的“关联分式”.
(3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式$\frac{y}{x}$的“关联分式”：_______；
②用发现的规律解决问题：若$\frac{4n - 2}{mx + m}$是$\frac{4m + 2}{mx + n}$的“关联分式”，求实数$m$，$n$的值.

答案： 是 [解析]
(1)
∵$\frac{2}{a^{2}-1}-\frac{2}{a^{2}+1}=\frac{2(a^{2}+1)-2(a^{2}-1)}{(a^{2}-1)(a^{2}+1)}=\frac{4}{(a^{2}-1)(a^{2}+1)}$，
$\frac{2}{a^{2}-1}\cdot\frac{2}{a^{2}+1}=\frac{4}{(a^{2}-1)(a^{2}+1)}$，
∴$\frac{2}{a^{2}+1}$是$\frac{2}{a^{2}-1}$的“关联分式”.
(2)设$\frac{a - b}{2a + 3b}$的“关联分式”是$N$，
则$\frac{a - b}{2a + 3b}-N=\frac{a - b}{2a + 3b}\cdot N$，
∴$(\frac{a - b}{2a + 3b}+1)\cdot N=\frac{a - b}{2a + 3b}$，
∴$\frac{3a + 2b}{2a + 3b}\cdot N=\frac{a - b}{2a + 3b}$，
∴$N=\frac{a - b}{3a + 2b}$.
(3)①$\frac{y}{x + y}$
②由题意，得$\begin{cases}4m + 2 = 4n - 2\\mx + m = mx + n + 4m + 2\end{cases}$，
∴$\begin{cases}n - m = 1\\n + 3m = - 2\end{cases}$，
∴$m = -\frac{3}{4}$，$n = \frac{1}{4}$.
归纳总结 对于新概念或新定义的题型，我们需要先认真理解新概念或新定义，根据定义或概念来解决问题，然后再灵活运用新概念或新定义及所学的其他知识来解决更为复杂的数学问题.