《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

类型3 组合体的表面积与体积
【例3】如图，梯形ABCD中，$AD// BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AD = a$，$BC = 2a$，$\angle DCB = 60^{\circ}$，在平面ABCD内过点C作$l\perp CB$，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积.
[尝试解答]
母题探究
如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积? 表面积和体积又分别为多少?

答案：
例3 旋转体的表面积$S=(4\sqrt{3}+9)\pi a^{2}$，体积$V = \frac{11\sqrt{3}}{3}\pi a^{3}$
母题探究
解：如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得$AD = BO = OC = a$，$DO = AB=\sqrt{3}a$，$DC = 2a$，

所以该旋转体的表面积为
$S = S_{圆柱底面积}+S_{圆柱侧面积}+S_{圆锥侧面积}$
$=\pi\cdot(\sqrt{3}a)^{2}+2\pi\sqrt{3}a\cdot a+\pi\cdot\sqrt{3}a\cdot 2a$
$=3\pi a^{2}+2\sqrt{3}\pi a^{2}+2\sqrt{3}\pi a^{2}$
$=(3 + 4\sqrt{3})\pi a^{2}$，
该旋转体的体积为$V = V_{圆锥}+V_{圆柱}$
$=\frac{1}{3}\pi(\sqrt{3}a)^{2}\cdot a+\pi(\sqrt{3}a)^{2}a$
$=4\pi a^{3}$．