《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

体验5.用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（ ）


A.4.5
B.4.8
C.5.4
D.6

答案： C

体验6.已知x₁ = -1，x₂ = 0，x₃ = 1，x₄ = 2，x₅ = 3，y₁ = -2，y₂ = 0，y₃ = 2，y₄ = 4，y₅ = 6，则$\sum_{i = 1}^{3}(x_{i}+y_{i})=$______，$\sum_{i = 1}^{5}x_{i}y_{i}=$______.

答案： 0 30

【例1】 下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是（ ）
①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： B

发现规律
具备哪些特征的抽样才是简单随机抽样？
（1）被抽取样本的总体中的个体数N是______的.
（2）抽取的样本是从总体中______抽取的.
（3）简单随机抽样是一种______的抽样.
如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.

答案：
(1)有限
(2)逐个
(3)等可能

【例2】 从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴.

答案： 解：第一步，将20架钢琴编号，号码是01，02，…，20.
第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.
第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.
第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本.

【例3】 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500 g袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验.
（1）利用随机数法抽取样本时，应如何操作？
（2）如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号.
162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.
（3）质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足（500±5）g，二是10袋质量的平均数≥500g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格.经过检测得到10袋袋装牛奶的质量（单位：g）为502，500，499，497，503，499，501，500，498，499.
计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格.
母题探究
1.该公司对质监部门的这种检验方法并不认可，公司自己的质检部门抽取了100袋牛奶按照本例(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足(500±5)g，平均数为500.4g，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？

2.为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Yᵢ = $\begin{cases}1,质量不低于500g \\ 0,质量低于500g\end{cases}$，公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下：
1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1
据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g的比例.

答案： 解：
(1)第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500.第二步，用随机数工具产生1～500的随机数.第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本.第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量.
(2)应抽取的袋装牛奶的编号为162，277，354，384，263，491，175，331，455，068.
(3)$\overline{y}=\frac{502 + 500+499+497+503+499+501+500+498+499}{10}= 499.8＜500$，所以该公司的牛奶质量不合格.
@@解：该公司的质检部门的检验结果更可靠.因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的.尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果.
@@解：由样本观测数据，计算可得样本平均数为$\overline{y}=0.56$，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g的比例约为0.56.