《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

知识点2 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
思考定理中把“a≠0”去掉可以吗？

答案： 知识点2　b=λa
　思考　提示:定理中a≠0不能去掉,若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa.

体验4.判断下列各小题中的向量a，b是否共线（其中e1，e2是两个不共线向量）.
(1)a = 5e1，b = －10e1；
(2)a = $\frac{1}{2}$e1－$\frac{1}{3}$e2，b = 3e1－2e2；
(3)a = e1 + e2，b = 3e1－3e2.

答案： 体验4　
(1)
∵b=−2a,
∴a与b共线.
(2)
∵a=$\frac{1}{6}$b,
∴a与b共线.
(3)设a=xb,则e+e2=λ(3e−3e2),
∴(1−3a)e=−(1+3x)e2.
∵e,与e2是两个不共线向量，
∴{11−+33λλ==00.,
　这样的λ不存在，因此a与b不共线

类型1 向量的线性运算
【例1】（对接教材P14例5）化简下列各式：
①3(6a + b)－9(a + $\frac{1}{3}$b)；
②$\frac{1}{2}$[(3a + 2b)－(a + $\frac{1}{2}$b)]－2($\frac{1}{2}$a + $\frac{3}{8}$b)；
③2(5a－4b + c)－3(a－3b + c)－7a.
[尝试解答]

答案： 例1　①9a　②0　③b−c

类型2 向量共线定理
【例2】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若$\overrightarrow{AB}$ = 2e1－8e2，$\overrightarrow{CB}$ = e1 + 3e2，$\overrightarrow{CD}$ = 2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若$\overrightarrow{OP}$ = x$\overrightarrow{OA}$ + y$\overrightarrow{OB}$，求x + y的值.
[尝试解答]
母题探究
1.本例(1)中把条件改为“$\overrightarrow{AB}$ = e1 + 2e2，$\overrightarrow{BC}$ = －5e1 + 6e2，$\overrightarrow{CD}$ = 7e1－2e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？
2.本例(1)中条件“$\overrightarrow{AB}$ = 2e1－8e2”改为“$\overrightarrow{AB}$ = 2e1 + ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？
3.试利用本例(2)中的结论判断下列三点P，A，B，是否共线.
①$\overrightarrow{OP}$ = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$ + $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$；
②$\overrightarrow{OP}$ = －2$\overrightarrow{OA}$ + 3$\overrightarrow{OB}$；
③$\overrightarrow{OP}$ = $\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OA}$－$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$.

答案： 例2　　)证明:　CB=e1+3e2,CD=2e−e2,
∴$\frac{1}{BD}$=CD−$\frac{:C}{CB}$=e1−4e2,
　又
∵AB=2e−　　　2(e−4e2),
∴AB=2BD,
∴$\frac{e}{AB}$//BD.
∵AB与BD有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)x+y=1
母题探究
1.解:
∵AB=e+2e2,BD=BC+CD=−5e+6e2+7e−2e2=2(e+2e2)=2AB.
∴AB,BD共线,且有公共点B，,
∴A,B,D三点共线.
2.解:因为　　　'D三点共线，则AB与BD共线.
　设AB.=λ$\frac{,B}{BD}$(A∈R).
∵$\frac{AB}{BD}$=CD−CB=2e−e2−(e1+3e2)=e1−4e2,
∴2e1+ke2=e−4λe2.由e与e2不共线可得
　{k2ee21==x−e14'e2,
∴λ=2,k=−8.
3.解:①中
∵$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$=1,
∴P,A,B三点共线;
　②中
∵−2+3=1,
∴P,A,B三点共线;
　③中
∵$\frac{4}{5}$+(−$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$≠1,
∴P,A,B三点不共线.