《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例1】（对接教材$P_{84}$例1）把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)$\sqrt{3}+\mathrm{i}$；
(2)$\sqrt{2}-\sqrt{2}\mathrm{i}$.
[尝试解答]

答案：
(1)$\sqrt{3}+i = 2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$
(2)$\sqrt{2}-\sqrt{2}i = 2(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4})$

【例2】（对接教材$P_{85}$例2）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式.
(1)$4(\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6})$；
(2)$\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos60^{\circ}+\mathrm{i}\sin60^{\circ})$；
(3)$2(\cos\frac{\pi}{3}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3})$.
[尝试解答]

答案：
(1)模为4，辐角的主值为$\frac{\pi}{6}$，代数形式为$2\sqrt{3}+2i$
(2)模为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，辐角的主值为$60^{\circ}$，代数形式为$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{4}i$
(3)模为2，辐角的主值为$\frac{5\pi}{3}$，代数形式为$1 - \sqrt{3}i$

【例3】计算：
(1)$8(\cos\frac{4}{3}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{4}{3}\pi)\times4(\cos\frac{5}{6}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{5}{6}\pi)$；
(2)$\sqrt{3}(\cos225^{\circ}+\mathrm{i}\sin225^{\circ})\div[\sqrt{2}(\cos150^{\circ}+\mathrm{i}\sin150^{\circ})]$；
(3)$4\div(\cos\frac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4})$.
[尝试解答]

答案：
(1)$16\sqrt{3}+16i$
(2)$\frac{3 - \sqrt{3}}{4}+\frac{3 + \sqrt{3}}{4}i$
(3)$2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i$