《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例1】（多选题）设$O$是$\square ABCD$两对角线的交点，则下列向量组可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 （ ）
A.$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AB}$
B.$\overrightarrow{DA}$与$\overrightarrow{BC}$
C.$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{DC}$
D.$\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OB}$

答案： AC

发现规律
如何判断两个向量是否能构成基底？
两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否___若___，则不能作基底，反之，则可作基底.

答案： 共线 共线

【例2】（1）（多选题）$D$，$E$，$F$分别为$\triangle ABC$的边$BC$，$CA$，$AB$上的中点，且$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{b}$，则下列结论正确的是 （ ）
A.$\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$
B.$\overrightarrow{BE}=\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
C.$\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
D.$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$

（2）如图所示，$\square ABCD$中，点$E$，$F$分别为$BC$，$DC$边上的中点，$DE$与$BF$交于点$G$，若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，试用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示向量$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BF}$.
母题探究
1.若本例（2）中条件不变，试用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示$\overrightarrow{AG}$.
2.若本例（2）中的基向量“$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$”换为“$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CF}$”，即若$\overrightarrow{CE}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CF}=\boldsymbol{b}$，试用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示向量$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BF}$.
类型2 用基底表示向量

答案： 1.$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}a + \frac{2}{3}b$2.$\overrightarrow{DE} = - 2b + a$，$\overrightarrow{BF} = - 2a + b$
@@（1）ABC
@@（2）$\overrightarrow{DE} = a - \frac{1}{2}b$，$\overrightarrow{BF} = b - \frac{1}{2}a$