《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

知识点1 复数的乘法
1.复数代数形式的乘法法则
已知$z_1 = a + bi,z_2 = c + di(a,b,c,d\in\mathbf{R})$，则$z_1\cdot z_2 = (a + bi)(c + di) =$__________.

答案： $(ac - bd)+(ad + bc)i$

2.复数乘法的运算律
对于任意$z_1,z_2,z_3\in\mathbf{C}$，有
|交换律|$z_1\cdot z_2 = z_2\cdot z_1$|
|结合律|
$(z_1\cdot z_2)\cdot z_3 =$__________
|
|乘法对加法的分配律|
$z_1(z_2 + z_3) =$__________
|
思考(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
(2)$|z|^2 = z^2$，正确吗？

答案： @@$z_1\cdot(z_2\cdot z_3)$
@@$z_1\cdot z_2 + z_1\cdot z_3$
@@提示：
(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把$i^2$换成 -1，再把实部、虚部分别合并.
(2)不正确.例如，$\vert i\vert^2 = 1$，而$i^2 = -1$.

【例1】(1)若复数$(1 - i)(a + i)$在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A.$(-\infty,1)$ B.$(-\infty,-1)$
C.$(1,+\infty)$ D.$(-1,+\infty)$
(2)计算：①$(2 + 3i)(2 - 3i)$；
②$(1 + i)^2$；
③$(-2 - i)(3 - 2i)(-1 + 3i)$.
[尝试解答]

答案：
(1)B
(2)①13 ②2i ③5 - 25i

体验1.复数$(3 + 2i)i$等于（ ）
A.$-2 - 3i$
B.$-2 + 3i$
C.$2 - 3i$
D.$2 + 3i$

答案： B

体验2.已知复数$(a + 2i)(1 + i)$的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__________.

答案： 2

知识点2 复数的除法法则
$(a + bi)\div(c + di)=\frac{ac + bd}{c^2 + d^2}+\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i(a,b,c,d\in\mathbf{R},且c + di\neq0)$.
体验3.已知i是虚数单位，则$\frac{3 + i}{1 - i}=$（ ）
A.$1 - 2i$
B.$2 - i$
C.$2 + i$
D.$1 + 2i$

答案： D

【例2】(对接教材$P_{79}$例5)(1)$\frac{3 + i}{1 + i}=$（ ）
A.$1 + 2i$ B.$1 - 2i$
C.$2 + i$ D.$2 - i$
(2)(2021·全国甲卷)已知$(1 - i)^2z = 3 + 2i$，则$z =$（ ）
A.$-1 - \frac{3}{2}i$ B.$-1 + \frac{3}{2}i$
C.$-\frac{3}{2} + i$ D.$-\frac{3}{2} - i$
[尝试解答]

答案：
(1)D
(2)B