《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

体验 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)复数$0$的辐角一定是$0$. （ ）
(2)一个给定的复数，其辐角也是唯一确定的. （ ）
(3)复数$\mathrm{i}$的辐角可以为$-\frac{3}{2}\pi$. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

体验 2.将下列复数表示为三角形式：
(1)$-5\mathrm{i}=$________________________.
(2)$-10 = $________________________.
(3)$2 - 2\mathrm{i}=$________________________.

答案：
(1)$5(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})$；
(2)$10(\cos\pi + i\sin\pi)$；
(3)$2\sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4})$

知识点2 复数三角形式乘法法则与几何意义
1.已知$z_1 = r_1(\cos\theta_1+\mathrm{i}\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2+\mathrm{i}\sin\theta_2)$，则$z_1z_2 = $____________________.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的__________，积的辐角等于各复数的__________.

答案： $r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$ 模的积 辐角的和

2.复数乘法的几何意义
两个复数$z_1$，$z_2$相乘时，先分别画出与$z_1$，$z_2$对应的向量$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，然后把向量$\overrightarrow{OZ_1}$绕点$O$按__________时针方向旋转角__________（如果$\theta_2＜0$，就要把$\overrightarrow{OZ_1}$绕点$O$按__________时针方向旋转角__________），再把它的模变为原来的__________倍，得到向量$\overrightarrow{OZ}$，$\overrightarrow{OZ}$表示的复数就是积$z_1z_2$.

答案： 逆 $\theta_2$ 顺 $|\theta_2|$ $r_2$

体验 3.若非零复数$z = r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$，则$z\cdot\overline{z} = $__________.

答案： $r^2$

知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
1.$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(\cos\theta_1+\mathrm{i}\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+\mathrm{i}\sin\theta_2)}=$____________________.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于__________减去__________所得的差.

答案： $\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2)+i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$ 被除数的辐角 除数的辐角

2.复数除法的几何意义
两个复数$z_1$，$z_2$相除时，先分别画出与$z_1$，$z_2$对应的向量$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，然后把向量$\overrightarrow{OZ_1}$绕点$O$按顺时针方向旋转角$\theta_2$（如果$\theta_2＜0$，就要把$\overrightarrow{OZ_1}$绕点$O$按逆时针方向旋转角$|\theta_2|$），再把它的模变为原来的$\frac{1}{r_2}$，得到向量$\overrightarrow{OZ}$，$\overrightarrow{OZ}$表示的复数就是商$\frac{z_1}{z_2}$.

答案：

体验 4.计算$(\cos\frac{2}{3}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{2}{3}\pi)\div2(\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6})=$__________.

答案： $\frac{1}{2}i$