《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

|零向量|长度为____的向量，记做____|
|--|--|
|单位向量|长度等于____个单位长度的向量|
|平行向量（共线向量）|方向____或____的非零向量.向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$平行，记作________.规定：零向量与任意向量________|
|相等向量|长度____且方向____的向量.向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$相等，记作________|

答案： 0 $\mathbf{0}$ 1 相同 相反 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$ 平行 相等 相同 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$

思考3.“向量平行”与“几何中的直线平行”一样吗？

答案： 提示:向量平行与几何中的直线平行不同,向量平行包括所在直线重合的情况,故也称向量共线.

体验3.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）长度为0的向量都是零向量. （ ）
（2）零向量的方向都是相同的. （ ）
（3）单位向量的长度都相等. （ ）
（4）单位向量都是同方向. （ ）
（5）任意向量与零向量都共线. （ ）

答案：
(1)√
(2)×
(3)√
(4)×
(5)√

体验4. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，则图中相等的向量是________.（填序号）
（1）$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$；（2）$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OD}$；
（3）$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$；（4）$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{OC}$.

答案：
(1)
(4)

【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$同向，且$|\boldsymbol{a}|＞|\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}$；
（2）若向量$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相同，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$；
（4）由于$\boldsymbol{0}$方向不确定，故$\boldsymbol{0}$不与任意向量平行；
（5）向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$平行，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相同或相反.
[尝试解答]

答案： 解:
(1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能比较大小.
(2)不正确.由 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$ 只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系.
(3)正确.因为 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$,且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向,由两向量相等的条件,可得 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$.
(4)不正确.依据规定:$\mathbf{0}$ 与任意向量平行.
(5)不正确.因为向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 若有一个是零向量,则其方向不定.

【例2】 （对接教材$P_{5}-T_{1}$）在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：

（1）$\overrightarrow{OA}$，使$|\overrightarrow{OA}| = 4\sqrt{2}$，点$A$在点$O$北偏东$45^{\circ}$；
（2）$\overrightarrow{AB}$，使$|\overrightarrow{AB}| = 4$，点$B$在点$A$正东；
（3）$\overrightarrow{BC}$，使$|\overrightarrow{BC}| = 6$，点$C$在点$B$北偏东$30^{\circ}$.
[尝试解答]

答案：
解:
(1)由于点 $A$ 在点 $O$ 北偏东 $45^{\circ}$ 处,所以在坐标纸上点 $A$ 距点 $O$ 的横向小方格数与纵向小方格数相等.又 $|\overrightarrow{OA}| = 4\sqrt{2}$,小方格边长为 1,所以点 $A$ 距点 $O$ 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4,于是点 $A$ 位置可以确定,画出向量 $\overrightarrow{OA}$,如图所示.
(2)由于点 $B$ 在点 $A$ 正东方向处,且 $|\overrightarrow{AB}| = 4$,所以在坐标纸上点 $B$ 距点 $A$ 的横向小方格数为 4,纵向小方格数为 0,于是点 $B$ 位置可以确定,画出向量 $\overrightarrow{AB}$,如图所示.
(3)由于点 $C$ 在点 $B$ 北偏东 $30^{\circ}$ 处,且 $|\overrightarrow{BC}| = 6$,依据勾股定理可得:在坐标纸上点 $C$ 距点 $B$ 的横向小方格数为 3,纵向小方格数为 $3\sqrt{3}\approx5.2$,于是点 $C$ 位置可以确定,画出向量 $\overrightarrow{BC}$,如图所示.