《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

知识点2 平面与平面平行的性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______
图形语言：
符号语言：$\alpha // \beta ,\alpha \cap \gamma = a,\beta \cap \gamma = b\Rightarrow$______
作用：证明两条直线______

答案： 平行 $a// b$ 平行

体验3.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面$\alpha // $平面$\beta$，平面$\alpha \cap $平面$\gamma =$直线$a$，平面$\beta \cap $平面$\gamma =$直线$b\Rightarrow$直线$a// $直线$b$.（ ）
（2）平面$\alpha // $平面$\beta$，直线$a\subset \alpha$，直线$b\subset \beta \Rightarrow a// b$.（ ）

答案：
(1)√
(2)×

体验4.平面$\alpha$与圆台的上、下底面分别相交于直线$m,n$，则$m,n$的位置关系是（ ）
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面

答案： A

体验5.已知长方体$ABCD - A'B'C'D'$，平面$\alpha \cap $平面$ABCD = EF$，平面$\alpha \cap $平面$A'B'C'D' = E'F'$，则$EF$与$E'F'$的位置关系是（ ）
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定

答案： A

深度研习
类型1 平面与平面平行的判定
【例1】（对接教材$P_{140}$例4）如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M,E,F,N$分别是$A_{1}B_{1},B_{1}C_{1},C_{1}D_{1},D_{1}A_{1}$的中点.

求证：（1）$E,F,B,D$四点共面；
（2）平面$MAN// $平面$EFDB$.
[尝试解答]

答案：
解：
(1)如图，连接 $B_{1}D_{1}$。
∵E，F分别是边 $B_{1}C_{1}$，$C_{1}D_{1}$ 的中点，
∴$EF// B_{1}D_{1}$，
而 $BD// B_{1}D_{1}$，
∴$BD// EF$。

∴E，F，B，D四点共面。
(2)易知 $MN// B_{1}D_{1}$，$B_{1}D_{1}// BD$，
∴$MN// BD$。
又 $MN\not\subset$ 平面 $EFDB$，$BD\subset$ 平面 $EFDB$。
∴$MN//$ 平面 $EFDB$。
连接 $MF$。
∵M，F分别是 $A_{1}B_{1}$，$C_{1}D_{1}$ 的中点，
∴$MF// A_{1}D_{1}$，$MF = A_{1}D_{1}$。
∴$MF// AD$ 且 $MF = AD$。
∴四边形 $ADFM$ 是平行四边形，
∴$AM// DF$。
又 $AM\not\subset$ 平面 $BDFE$，$DF\subset$ 平面 $BDFE$，
∴$AM//$ 平面 $BDFE$。
又 $\because AM\cap MN = M$，
∴平面 $MAN//$ 平面 $EFDB$。

类型2 平面与平面平行的性质
【例2】如图，已知平面$\alpha // $平面$\beta$，$P\notin \alpha$且$P\notin \beta$，过点$P$的直线$m$与$\alpha,\beta$分别交于$A,C$，过点$P$的直线$n$与$\alpha,\beta$分别交于$B,D$，且$PA = 6$，$AC = 9$，$PD = 8$，求$BD$的长.

[尝试解答]
母题探究
将本例改为：若点$P$在平面$\alpha,\beta$之间（如图所示），其他条件不变，试求$BD$的长.
反思领悟
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
1.定条件：审题看是否有平面与平面平行
2.找平面：找(或作)第三个平面与已知两个平面相交
3.定交线：确定交线的位置
4.得平行：得两条交线互相平行

答案： 例2 $\frac{24}{5}$
母题探究
24