《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

类型3 平行关系的综合应用
【例3】如图所示，四边形$ABCD$是平行四边形，点$P$是平面$ABCD$外一点，$M$是$PC$的中点，在$DM$上取一点$G$，过$G$和$AP$作平面交平面$BDM$于$GH$.求证：$GH// $平面$PAD$.
[尝试解答]

答案：
证明：如图所示，连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，连接 $MO$。
∵$ABCD$ 是平行四边形，
∴$O$ 是 $AC$ 的中点，
又 $M$ 是 $PC$ 的中点，
∴$PA// MO$，而 $AP\not\subset$ 平面 $BDM$，$OM\subset$ 平面 $BDM$，
∴$PA//$ 平面 $BMD$，
又 $\because PA\subset$ 平面 $PAHG$，
平面 $PAHG\cap$ 平面 $BMD = GH$，
∴$PA// GH$。
又 $PA\subset$ 平面 $PAD$，$GH\not\subset$ 平面 $PAD$，
∴$GH//$ 平面 $PAD$。