《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

[尝试解答]
类型3 直角梯形的翻折
如图所示，在直角梯形中有一类由两个直角三角形（特别是其中一个是等腰直角三角形）拼接而成的直角梯形是翻折问题考查的热点.这类翻折问题，一般都沿着两个三角形的公共边进行翻折，翻折的位置往往强调两个面互相垂直，这样容易考查线面垂直和面面垂直中的性质定理与判定定理.具体操作时要注意翻折前后的点与线、线与线位置关系的变与不变，数量关系的变与不变.


【例3】 如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC = 90°，AB//CD，AB = 4，AD = CD = 2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D - ABC，如图②所示.

(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D - ABC的体积.

答案： 例3　解:
(1)证明:在直角梯形ABCD中,因为∠ADC = 90°,AD = CD = 2,所以∠DAC = 45°,AC = 2$\sqrt{2}$.又AB//CD,AB = 4,所以∠ACB = 90°,BC = 2$\sqrt{2}$.因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC = AC,AC⊥BC,所以BC⊥平面ACD.
(2)V_{三棱锥D - ABC} = V_{三棱锥B - ADC} = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×AD×CD×BC = $\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

[尝试解答]
类型4 矩形(正方形)的翻折
矩形是大家比较熟悉的平面图形，对于矩形的翻折问题，常常聚焦于具有一定长宽比的矩形翻折问题.如图所示.
类比于筝形，在图形沿着对角线BD或者CF翻折过程中，垂直关系始终保持不变，而这就是命题的落脚点.近几年全国卷高考题也进行了正方形的翻折研究.


【例4】 如图，在矩形ABCD中，AB = $\sqrt{2}$，BC = 2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.

(1)求证：PE⊥平面PAD；
(2)求二面角P - AD - E的大小.

答案：
例4　解:
(1)证明:在矩形ABCD中,有EC⊥CD,EB⊥BA,
∴由题意知PE⊥PD,PE⊥PA,又PD∩PA = P,
∴PE⊥平面PAD.
(2)如图，过E作EF⊥AD于F,连接PF,又AD⊂平面PAD,由
(1)知:PE⊥AD,又PE∩EF = E,所以AD⊥平面PEF,
∴∠PFE为二面角P - AD - E的平面角.又AB = $\sqrt{2}$,BC = 2,
∴PF = PE = 1,FE = $\sqrt{2}$,则cos∠PFE = $\frac{PF^{2}+FE^{2}-PE^{2}}{2PF·FE}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵∠PFE∈[0,π],
∴∠PFE = $\frac{\pi}{4}$.