《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

情境与问题
一只蚂蚁做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1 s的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3 s的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3 s的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？
问题：类比实数的运算“a + a + a = 3a”你能猜想实例中a + a + a的结果吗？

答案：

(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作：________，它的长度与方向规定如下：
①|λa| = ________.
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向________.当λ＜0时，λa的方向与a的方向________.当λ = 0时，λa = ________.
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有
①λ(μa) = ________.
②(λ + μ)a = ________.
③λ(a + b) = ________.
特别地，有(－λ)a = ________ = ________；λ(a－b) = ________.
向量的数乘运算
(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是________.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b) = ________.

答案： 知识点1　
(1)向量　λa　|λ|la|　相同　相反　0　
(2)(入)
　a　λa+μa　a+λb　−(Xa)　λ(−a)　xa−λb　
(3)向量λμa±Aμ2b

体验1.(多选题)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是（ ）
A.2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B.－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的$\frac{2}{5}$
C.－2a与2a是一对相反向量
D.a－b与－(b－a)是一对相反向量

答案： 体验1　ABC

体验2.若|a| = 1，|b| = 2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是（ ）
A.b = 2a
B.b = －2a
C.a = 2b
D.a = －2b

答案： 体验2　A

体验3.化简：2(3a + 4b)－8a = ________.

答案： 体验3　−2a+8b