《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

情境与问题
前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$；二是几何表示，复数$z$既可以用复平面上的点$Z(a,b)$表示，也可以用复平面上的向量$\overrightarrow{OZ}$来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数$z$的模和辐角来表示复数.
问题：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用?

答案：

知识点1 复数的三角表示式
1.一般地，任何一个复数$z = a + bi$都可以表示成$r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$的形式.其中$r$是__________；$\theta$是以$x$轴的非负半轴为始边，向量$\overrightarrow{OZ}$所在射线(射线$OZ$)为终边的角，叫做复数$z = a + bi$的__________. $r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$叫做复数$z = a + bi$的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，__________叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
2.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差__________.我们规定在__________范围内的辐角$\theta$的值为辐角的主值.通常记作__________，即$0\leqslant\arg z＜2\pi$.例如，$\arg1 = $__________，$\arg\mathrm{i} = $__________，$\arg(-1) = $__________，$\arg(-\mathrm{i}) = $__________.
3.两个非零复数相等当且仅当它们的__________与__________分别相等.

答案： 复数$z$的模 辐角 $a + bi$
@@$2\pi$的整数倍 $0\leqslant\theta＜2\pi$ $arg\ z$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$
@@模 辐角的主值