《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

问题：在平面直角坐标系中，设$i$，$j$分别是$x$轴和$y$轴方向上的单位向量，$a=(3,2)$，$b=(2,1)$，则$a\cdot b$的值为多少？$a\cdot b$的值与$a$，$b$的坐标有怎样的关系？若$a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，则$a\cdot b$为多少？

答案：

知识点 平面向量数量积的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示
|条件|向量$a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$|
|--|--|
|坐标表示|$a\cdot b=$______|
|文字叙述|两个向量的数量积等于它们对应坐标的______|

答案： x_1x_2 + y_1y_2 乘积的和

2.平面向量数量积的坐标表示的结论
|条件|结论|
|--|--|
|$a=(x,y)$|$|a|=$______|
|表示向量$a$的有向线段的起点和终点坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$|$|a|=$______|

续表
|条件|结论|
|--|--|
|向量$a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$|$a\perp b\Leftrightarrow$______|
|$a$，$b$都是非零向量，$a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，$\theta$是$a$与$b$的夹角|$\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$|

答案： $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ $\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$
@@x_1x_2 + y_1y_2 = 0