《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例1】 如图，已知三棱锥A - BCD的各棱长均为2，求二面角A - CD - B的余弦值.
[尝试解答]

答案：
解:如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A−CD−B的平面角.
设点H是△BCD的重心,则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.
在Rt△AMH中,$AM = \frac{\sqrt{3}}{2}\times2=\sqrt{3}$，
$HM=\frac{\sqrt{3}}{2}\times2\times\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则$\cos\angle AMB=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$，
即二面角的余弦值为$\frac{1}{3}$.

【例2】（对接教材P₁₅₈例8）
如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC = 90°，∠BSA = ∠CSA = 60°，又SA = SB = SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
[尝试解答]

答案：
证明:
(1)法一　(利用定义证明)
因为$\angle BSA=\angle CSA = 60^{\circ}$，$SA = SB = SC$，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有$SA = SB = SC = AB = AC$，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,
所以∠ADS为二面角A−BC−S的平面角.
在Rt△BSC中,因为$SB = SC = a$，
所以$SD=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$BD=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
在Rt△ABD中,$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
在△ADS中,因为$SD^{2}+AD^{2}=SA^{2}$，
所以$\angle ADS = 90^{\circ}$，即二面角A−BC−S为直二面角.
故平面ABC⊥平面SBC.

法二　(利用判定定理)
因为$SA = SB = SC$，且$\angle BSA=\angle CSA = 60^{\circ}$，
所以$SA = AB = AC$.
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为等腰直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点.
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面SBC.