《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例3】已知$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(-3,2)$，当$k$为何值时，$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$平行？平行时它们是同向还是反向？

答案： 法一(向量共线定理法) $k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=k(1,2)+(-3,2)=(k - 3,2k + 2)$，
$\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)$，
当$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$平行时,存在唯一实数$\lambda$，
使$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b})$.
即$(k - 3,2k + 2)=\lambda(10,-4)$，
所以$\begin{cases}k - 3 = 10\lambda\\2k + 2 = -4\lambda\end{cases}$，
解得$k=\lambda=-\frac{1}{3}$.
当$k = -\frac{1}{3}$时,$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$平行,这时$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=-\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b})$，
因为$\lambda = -\frac{1}{3}＜0$，
所以$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$反向.
法二(坐标法) 由题知$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k - 3,2k + 2)$，
$\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}=(10,-4)$，
因为$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$平行，
所以$(k - 3)\times(-4)-10\times(2k + 2)=0$，
解得$k = -\frac{1}{3}$.
这时$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-\frac{1}{3}-3,-\frac{2}{3}+2)=-\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b})$，
所以当$k = -\frac{1}{3}$时,$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$平行,并且反向.

【例4】已知点$A(3,-4)$与点$B(-1,2)$，点$P$在直线$AB$上，且$|\overrightarrow{AP}| = 2|\overrightarrow{PB}|$，求点$P$的坐标.
母题探究
1.若将本例条件“$|\overrightarrow{AP}| = 2|\overrightarrow{PB}|$”改为“$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$”，其他条件不变，求点$P$的坐标.
2.若将本例条件改为“经过点$P(-2,3)$的直线分别交$x$轴、$y$轴于点$A$，$B$，且$|\overrightarrow{AB}| = 3|\overrightarrow{AP}|$”，求点$A$，$B$的坐标.

答案： 【例4】$(\frac{1}{3},0)$或$(-5,8)$
母题探究
1.$(0,\frac{1}{2})$
2.点$A,B$的坐标分别为$(-3,0),(0,9)$或$(-\frac{3}{2},0),(0,-9)$