《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例1】 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD = CD.
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB = BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

答案：
例1　解:
(1)证明:如图,取AC的中点O,连接DO,BO.
因为AD = CD,所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形,
所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB,
故AC⊥BD.
(2)连接EO.
由
(1)及题设知∠ADC = 90°,所以DO = AO.
在Rt△AOB中,BO² + AO² = AB².
又AB = BD,所以BO² + DO² = BO² + AO² = AB² = BD²,故∠DOB = 90°.
由题设知△AEC为直角三角形,所以EO = $\frac{1}{2}$AC.
又△ABC是正三角形,且AB = BD,所以EO = $\frac{1}{2}$BD.
故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的$\frac{1}{2}$,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的$\frac{1}{2}$,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.

【例2】 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF = 2FD = 2，∠AFD = 90°，且二面角D - AF - E与二面角C - BE - F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求该五面体的体积.

答案：
例2　解:
(1)证明:因为AF⊥DF,AF⊥EF,EF∩DF = F,所以AF⊥平面EFDC.
又AF⊂平面ABEF,所以平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)由
(1)知∠DFE为二面角D - AF - E的平面角,故∠DFE = 60°.因为AB//EF,所以AB//平面EFDC.
又平面ABCD∩平面EFDC = CD,故AB//CD,CD//EF.
由BE//AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C - BE - F的平面角，故∠CEF = 60°.
如图,连接AC,AE,作CM⊥EF于M,
因为平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC = EF,CM⊂平面EFDC,所以CM⊥平面ABEF.

因为AF = 2FD = 2,所以DF = CE = 1,EF = 2,CM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,CD = 1.
则V_{四棱锥A - EFDC} = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×(EF + CD)×CM×AF = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
V_{三棱锥C - ABE} = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×AB×BE×CM = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
所以五面体ABCDEF的体积V = V_{四棱锥A - EFDC} + V_{三棱锥C - ABE} = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{6}$.