《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

思考 已知向量$a=(x,y)$，你知道与$a$共线的单位向量的坐标是什么吗？与$a$垂直的单位向量的坐标又是什么？

答案： 提示：设与$\boldsymbol{a}$共线的单位向量为$\boldsymbol{a}_0$，则$\boldsymbol{a}_0 = \pm\frac{1}{|\boldsymbol{a}|}\boldsymbol{a}=\pm(\frac{x}{|\boldsymbol{a}|},\frac{y}{|\boldsymbol{a}|})=\pm(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}})$，其中正号、负号分别表示与$\boldsymbol{a}$同向和反向.
易知$\boldsymbol{b}=(-y,x)$和$\boldsymbol{a}=(x,y)$垂直，
所以与$\boldsymbol{a}$垂直的单位向量$\boldsymbol{b}_0$的坐标为$\pm(\frac{-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}})$，其中正、负号表示不同的方向.

体验 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
若$a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$。
(1)$a\perp b\Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$. （ ）
(2)$a\cdot b＜0\Leftrightarrow a$与$b$的夹角为钝角. （ ）
(3)若$a\cdot b\neq0$，则$a$与$b$不垂直. （ ）
(4)$|\overrightarrow{AB}|$表示$A$，$B$两点之间的距离.（ ）

答案： （1）√ （2）× （3）√ （4）√

体验 2.已知$a=(2,-1)$，$b=(2,3)$，则$a\cdot b=$______，$|a + b|=$______.

答案： 1 $2\sqrt{5}$

体验 3.已知向量$a=(1,3)$，$b=(-2,m)$，若$a\perp b$，则$m=$______.

答案： $\frac{2}{3}$

体验 4.已知$a=(3,4)$，$b=(5,12)$，则$a$与$b$夹角的余弦值为______.

答案： $\frac{63}{65}$

【例 2】（1）设平面向量$a=(1,2)$，$b=(-2,y)$，若$a// b$，则$|2a - b|$等于 （ ）
A.4 B.5 C.$3\sqrt{5}$ D.$4\sqrt{5}$
（2）若向量$a$的始点为$A(-2,4)$，终点为$B(2,1)$，求：
①向量$a$的模；
②与$a$平行的单位向量的坐标；
③与$a$垂直的单位向量的坐标.

答案： （1）D （2）①5 ②$(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$或$(-\frac{4}{5},\frac{3}{5})$
③$(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$或$(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$