《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

例4 如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且$AE\perp CD$，又G，F分别为DA，EC的中点，将$\triangle ADE$沿AE折叠，使得$DE\perp EC$.
(1)求证：$AE\perp 平面CDE$；
(2)求证：$FG// 平面BCD$；
(3)在线段AE上找一点R，使得平面$BDR\perp 平面DCB$，并说明理由.

(1)[证明]由已知得$DE\perp AE$，$AE\perp EC$.
因为$DE\cap EC = E$，$DE$，$EC\subset 平面DCE$，
所以$AE\perp 平面CDE$.
(2)[证明]如图，取AB的中点H，
连接GH，FH，
所以$GH// BD$，$FH// BC$，
因为$GH\not\subset 平面BCD$，$BD\subset 平面BCD$，
所以$GH// 平面BCD$.
同理$FH// 平面BCD$，
又$GH\cap FH = H$，
所以平面$FHG// 平面BCD$，
因为$GF\subset 平面FHG$，
所以$GF// 平面BCD$.
(3)[解答]如图，取线段AE的中点R，
则平面$BDR\perp 平面DCB$.
证明如下：
取线段DC的中点M，取线段DB的中点S，
连接MS，RS，BR，DR，EM，
则$MS\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}BC$.
又$RE\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}BC$，
所以$MS\underline{\underline{//}}RE$，
所以四边形MERS是平行四边形，
所以$RS// ME$.
在$\triangle DEC$中，$ED = EC$，M是CD的中点，
所以$EM\perp DC$.
由(1)知$AE\perp 平面CDE$，$AE// BC$，
所以$BC\perp 平面CDE$.
因为$EM\subset 平面CDE$，
所以$EM\perp BC$.
因为$BC\cap CD = C$，
所以$EM\perp 平面BCD$.
因为$EM// RS$，
所以$RS\perp 平面BCD$.
因为$RS\subset 平面BDR$，
所以平面$BDR\perp 平面DCB$.
[说明](1)平行、垂直关系的相互转化
线线平行→线面平行→面面平行
线线垂直→线面垂直→面面垂直
(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点
①由已知想性质，由求证想判定；
②适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一；
③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论.

答案：