《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

例5 如图所示，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，$AD\perp PD$，$BC = 1$，$PC = 2\sqrt{3}$，$PD = CD = 2$.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；
(2)证明：平面$PDC\perp 平面ABCD$；
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

[解答](1)在四棱锥P - ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以$AD = BC$且$AD// BC$.
故$\angle PAD$为异面直线PA与BC所成的角.
又因为$AD\perp PD$，在$Rt\triangle PDA$中，
$\tan\angle PAD=\frac{PD}{AD}=2$，
所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
(2)[证明]由于底面ABCD是矩形，故$AD\perp CD$.
又因为$AD\perp PD$，$CD\cap PD = D$，
所以$AD\perp 平面PDC$.
而$AD\subset 平面ABCD$，
所以平面$PDC\perp 平面ABCD$.
(3)在平面PDC内，过点P作$PE\perp CD$交直线CD于点E，连接EB（如图）.
由于平面$PDC\perp 平面ABCD$，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，
故$PE\perp 平面ABCD$.由此得$\angle PBE$为直线PB与平面ABCD所成的角.
在$\triangle PDC$中，由于$PD = CD = 2$，$PC = 2\sqrt{3}$，
可得$\angle PCD = 30^{\circ}$.
在$Rt\triangle PEC$中，$PE = PC\sin30^{\circ}=\sqrt{3}$.
由$AD// BC$，$AD\perp 平面PDC$，
得$BC\perp 平面PDC$，因此$BC\perp PC$.
在$Rt\triangle PCB$中，
$PB=\sqrt{PC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{13}$.
在$Rt\triangle PEB$中，
$\sin\angle PBE=\frac{PE}{PB}=\frac{\sqrt{39}}{13}$.
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{39}}{13}$.
[说明]空间角的求法
(1)找异面直线所成的角的三种方法
①利用图中已有的平行线平移；
②利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；
③补形平移.
(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.
(3)二面角：利用几何体的特征作出所求二面角的平面角，再把该平面角转化到某三角形或其他平面图形中求解.

答案：