《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

类型3 点共线、线共点问题
【例3】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD//BC，且AB⊂α，CD⊂β.

母题探究
本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上。

答案： 证明：因为梯形$ABCD$中，$AD// BC$，所以$AB$，$CD$是梯形$ABCD$的两腰.所以$AB$，$CD$必定相交于一点.设$AB\cap CD = M$.又因为$AB\subset\alpha$，$CD\subset\beta$，所以$M\in\alpha$，$M\in\beta$.所以$M\in\alpha\cap\beta$.又因为$\alpha\cap\beta = l$，所以$M\in l$.即$AB$，$CD$，$l$共点（相交于一点）.
@@证明：若$EF$，$GH$交于一点$P$，则$E$，$F$，$G$，$H$四点共面，又因为$EF\subset$平面$ABD$，$GH\subset$平面$CBD$，平面$ABD\cap$平面$CBD = BD$，所以$P\in$平面$ABD$，且$P\in$平面$CBD$，由基本事实3可得$P\in BD$.所以点$P$在直线$BD$上.