《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

类型2 向量加法运算律的应用
【例2】（1）化简：
①$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$；
②$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}$；
③$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FA}$.
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①$\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CB}$；
②$\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}$.

答案： 解:
(1)①$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
②$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=0$.
③$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}=0$.
(2)①$\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{GE}$.
②$\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AE}=0$.

类型3 向量加法的实际应用
【例3】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW = 150°，∠BCW = 120°，求A和B处所受力的大小（绳子的质量忽略不计）.

答案：
解:如图所示，设$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CF}$分别表示A，B所受的力，10 N的重力用$\overrightarrow{CG}$表示，则$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CG}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
易得$\angle ECG = 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$，
$\angle FCG = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
$\therefore|\overrightarrow{CE}|=|\overrightarrow{CG}|\cdot\cos30^{\circ}=10\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$(N)，
$|\overrightarrow{CF}|=|\overrightarrow{CG}|\cdot\cos60^{\circ}=10\times\frac{1}{2}=5$(N).
$\therefore$A处所受的力的大小为$5\sqrt{3}$ N，B处所受的力的大小为5 (N).

发现规律
利用向量的加法解决实际应用问题的步骤是什么？你认为有哪些关键点和技巧？
（1）利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤

（2）三个关键：一是从向量的角度认识平面图形中各线段之间的关系；二是熟练找出图形中的相等向量和平行向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.
（3）应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解.

答案：
(1)方向 平行四边形 三角形