《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

发现规律
求平面向量数量积的步骤是什么？
（1）求a与b的夹角$\theta$，$\theta\in$______.
（2）分别求$\vert a\vert$和$\vert b\vert$.
（3）求数量积，即$a\cdot b =$______，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略.

答案：
(1)$[0,\pi]$
(3)$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$

【例2】（1）已知向量a，b的夹角为$60^{\circ}$，$\vert a\vert = 2$，$\vert b\vert = 1$，则$\vert a + 2b\vert =$______.
（2）已知向量a与b夹角为$45^{\circ}$，且$\vert a\vert = 1$，$\vert 2a + b\vert =\sqrt{10}$，求$\vert b\vert$.

答案：
(1)$2\sqrt{3}$
@@
(2)$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}$

【例3】（1）已知$e_1$与$e_2$是两个互相垂直的单位向量，若向量$e_1 + ke_2$与$ke_1 + e_2$的夹角为锐角，则k的取值范围为______.
（2）已知非零向量a，b满足$a + 3b$与$7a - 5b$互相垂直，$a - 4b$与$7a - 2b$互相垂直，求a与b的夹角.

母题探究
1.将本例（1）中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围.
2.将本例（1）中的条件“锐角”改为“$\frac{\pi}{3}$”，求k的值.

答案：
(1)$(0,1)\cup(1,+\infty)$
@@
(2)$\frac{\pi}{3}$
@@1.$k ＜ 0$且$k\neq - 1$　2.$2\pm\sqrt{3}$