《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

思考1.（1）等边三角形ABC中，向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$所成的角是$60^{\circ}$吗？
（2）向量夹角的范围与两直线所成的角的范围相同吗？
（3）向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？

答案：
(1)不是，向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$所成的角是120°.
(2)向量的夹角和两直线的夹角范围是不同的，它们分别是$[0,\pi]$和$[0,\frac{\pi}{2}]$.
(3)两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性运算的结果是向量.

体验1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若$a\cdot b = 0$，则$a = 0$或$b = 0$. （ ）
（2）若$\lambda a = 0$，则$\lambda = 0$或$a = 0$. （ ）
（3）若$a^{2}=b^{2}$，则$a = b$或$a = -b$. （ ）
（4）若$a\cdot b = a\cdot c$，则$b = c$. （ ）

答案：
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)×

体验2.已知单位向量a，b，夹角为$60^{\circ}$，则$a\cdot b =$（ ）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.1
D.$-\frac{1}{2}$

答案： A

体验3.已知$\vert a\vert = 1$，$\vert b\vert = 2$，a与b的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则b在a方向上的投影向量为______.

答案： $\boldsymbol{a}$

1.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是$\theta$，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)$a\cdot e = e\cdot a=\vert a\vert\cos\theta$.
(2)$a\perp b\Leftrightarrow$______ = 0.
(3)当a与b同向时，$a\cdot b =$______；当a与b反向时，$a\cdot b =$______.
特别地，$a\cdot a =$______或$\vert a\vert =$______.
(4)$\vert a\cdot b\vert$______$\vert a\vert\vert b\vert$.

答案：
(2)$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$
(3)$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$ $-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$ $|\boldsymbol{a}|^{2}$ $\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}$
(4)≤

2.向量数量积的运算律
(1)$a\cdot b =$______.
(2)$(\lambda a)\cdot b=\lambda(a\cdot b)=$______.
(3)$(a + b)\cdot c =$______.

答案：
(1)$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}$
(2)$\boldsymbol{a}\cdot(\lambda\boldsymbol{b})$
(3)$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$

思考2.$a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$成立吗？

答案： $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\neq\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$，因为$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$是数量积，是实数，不是向量，所以$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}$与向量$\boldsymbol{c}$共线，$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$与向量$\boldsymbol{a}$共线.因此，$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$在一般情况下不成立.

体验4.（多选题）下列命题正确的是（ ）
A.$0\cdot a = 0$
B.若$a\neq0$，则对任一非零向量b都有$a\cdot b\neq0$
C.若$a\cdot b = 0$，则a与b中至少有一个为0
D.若a与b是两个单位向量，则$a^{2}=b^{2}$

答案： AD

体验5.已知单位向量a与b的夹角为$\frac{\pi}{3}$，若$xa + b$与a垂直，则实数x的值为（ ）
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： B

【例1】（1）（对接教材$P_{17}$例9）已知$\vert a\vert = 6$，$\vert b\vert = 4$，a与b的夹角为$60^{\circ}$，求$(a + 2b)\cdot(a + 3b)$.
（2）如图，在$\square ABCD$中，$\vert\overrightarrow{AB}\vert = 4$，$\vert\overrightarrow{AD}\vert = 3$，$\angle DAB = 60^{\circ}$，求：
①$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}$；②$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}$.

答案：
(1)192　
(2)①$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=9$ ②$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}=-6$