《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

类型1 平行线传递性的应用
【例1】 在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BC，A₁D₁的中点。求证：四边形B₁EDF是菱形。
[尝试解答]

答案：
证明:如图,取B:C1的中点G,连接GD,
　GE,则GE//CC//DD,GE=C1C
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =DD,
∴四边形GEDD是平行四边形,GD1//
　ED,GD1=ED.
∵FD//B1G,FD1
　=BG,
∴四边形FBGD是平行四边形,
∴B|F//GD,BF=GD1,
∴BF//ED,BF=ED,
∴四边形BEDF是平行四边形,
　又B1E=　BB²+　　　　$\sqrt{(\frac{1}{2}BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$BB,
B1F=　$\sqrt{(\frac{1}{2}AD}$B1A²+　　　　　　$\frac{\sqrt{5}}{2}$A1B1,AB=BB,
∴B1E=BF,
∴四边形BlEDF是菱形.

类型2 等角定理的应用
【例2】 如图，在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M，M₁分别是棱AD和A₁D₁的中点。
求证：（1）四边形BB₁M₁M为平行四边形；
（2）∠BMC = ∠B₁M₁C₁。
[尝试解答]

答案： 证明:
(1)
∵ABCD−AlBCD为正方体.
∴AD=A1D1,且AD//AD,
　又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,
∴AM=AM且AM//A1M1,
∴四边形AMMlA1为平行四边形，
∴MM=AA且MM//AA1.
　又AA1=BB且AA//BB,
∴MM=BB1且MM1//BB,
∴四边形BBMlM为平行四边形.
(2)法一　由
(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴BM1//BM.
　同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C,M、//CM.
∵∠BMC和∠BMC1方向相同,
∴∠BMC=∠BMC1.
　法二　由
(1)知四边形BBMM为平行四边形,
∴BM=BM.
　同理可得四边形CC1MM为平行四边形,
∴CM=CM.
　又
∵BC=BC,
∴△BCM≌△BCM
∴∠BMC=∠BMC1.

答案： 平行　相同　相反　互补