《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

体验2.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)若直线l//平面α，直线a⊂平面α，则l//a. （ ）
(2)若直线m//平面α，n//平面α，则m//n. （ ）

答案： 体验2 （1）× （2）×

【例1】（对接教材P138练习2）如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM = DN.求证：MN//平面AA1B1B.
[尝试解答]
证明直线与平面平行的步骤是什么?
用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：
找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线
证：证明已知直线与该直线平行
结论：由判定定理得出结论

答案：
例1 证明：法一：如图①,作ME//BC，交BB₁于点E，作NF//AD，交AB于点F，连接EF.
则EF⊂平面AA₁B₁B，
且$\frac{ME}{BC}=\frac{B_{1}M}{B_{1}C}$，$\frac{NF}{AD}=\frac{BN}{BD}$.
∵在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，CM = DN，B₁C = BD，
∴B₁M = NB.
∴$\frac{ME}{BC}=\frac{BN}{BD}=\frac{NF}{AD}$.又AD = BC，
∴ME = NF.又ME//BC//AD//NF，
∴四边形MEFN为平行四边形.
∴MN//EF.
∵MN⊄平面AA₁B₁B，EF⊂平面AA₁B₁B，
∴MN//平面AA₁B₁B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
法二：如图②，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B₁P，则B₁P⊂平面AA₁B₁B.
∵△NDC∽△NBP，
∴$\frac{DN}{NB}=\frac{CN}{NP}$.
又CM = DN，B₁C = BD，
∴$\frac{CM}{MB_{1}}=\frac{DN}{NB}=\frac{CN}{NP}$.
∴MN//B₁P.
∵MN⊄平面AA₁B₁B，B₁P⊂平面AA₁B₁B，
∴MN//平面AA₁B₁B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 发现规律
平行 平行

体验3.如图，在三棱锥S - ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF//平面ABC，则 （ ）

A.EF与BC相交
B.EF//BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能

答案： 体验3 B

体验4.已知直线l//平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有______条.

答案： 体验4 1

【例2】 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体.求证：截面MNPQ是平行四边形.
[尝试解答]

答案： 例2 证明：因为AB//平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ = MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB//MN.同理，AB//PQ，所以MN//PQ.同理可得MQ//NP.所以截面MNPQ是平行四边形.母题探究1.证明：由例2知PQ//AB，
∴$\frac{BP}{PD}=\frac{AQ}{QD}$.
∵QM//DC，
∴$\frac{AQ}{QD}=\frac{AM}{MC}$.
∴$\frac{BP}{PD}=\frac{AM}{MC}$.2.解：由例2知，四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB⊥CD，
∴PQ⊥QM，
∴四边形MNPQ是矩形.
∵BP∶PD = 1∶1，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AB，QM=$\frac{1}{2}$CD.
∴PQ = 5，QM = 4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4 = 20.