《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例 1】（1）如图，在矩形$ABCD$中，$AB=\sqrt{2}$，$BC = 2$，点$E$为$BC$的中点，点$F$在边$CD$上，若$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AF}=\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF}$的值是______.

（2）已知$a$与$b$同向，$b=(1,2)$，$a\cdot b = 10$.
①求$a$的坐标；
②若$c=(2,-1)$，求$a\cdot(b\cdot c)$及$(a\cdot b)\cdot c$.

答案： （1）$\sqrt{2}$ （2）①$\boldsymbol{a}=(2,4)$ ②$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}) = 0$，$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=(20,-10)$

【例 3】（1）已知向量$a=(2,1)$，$b=(1,k)$，且$a$与$b$的夹角为锐角，则实数$k$的取值范围是 （ ）
A.$(-2,+\infty)$ B.$\left(-2,\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$
C.$(-\infty,-2)$ D.$(-2,2)$
（2）已知在$\triangle ABC$中，顶点$A(2,-1)$，$B(3,2)$，$C(-3,-1)$，$AD$为$BC$边上的高，求$|\overrightarrow{AD}|$与点$D$的坐标.
【母题探究】
1.将本例（1）中的条件“a=(2,1)改为“a=（-2,1）”，“锐角”改为“钝角”，求实数K的取值范围。
2.将本例（1）中的条件“锐角”改为，求k的值。

答案：
（1）B （2）$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{5}$，$D(1,1)$