《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

发现规律
用有向线段表示向量的基本思路是什么？
用有向线段表示向量时，先确定________，再确定________，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点.必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量.

答案： 起点 方向

【例3】 如图所示，〇是正六边形$ABCDEF$的中心，且$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$.
（1）与$\boldsymbol{a}$的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与$\boldsymbol{a}$共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$相等的向量.
[尝试解答]
[母题探究]
1.本例条件不变，写出与向量$\overrightarrow{BC}$相等的向量.
2.本例条件不变，写出与向量$\overrightarrow{BC}$长度相等的共线向量.
3.在本例中，若$|\boldsymbol{a}| = 1$，则正六边形的边长如何？

答案： 解:
(1)与 $\boldsymbol{a}$ 的长度相等、方向相反的向量有 $\overrightarrow{OD},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AO},\overrightarrow{FE}$.
(2)与 $\boldsymbol{a}$ 共线的向量有 $\overrightarrow{EF},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{FE},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{AO},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{AD}$.
(3)与 $\boldsymbol{a}$ 相等的向量有 $\overrightarrow{EF},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{CB}$;与 $\boldsymbol{b}$ 相等的向量有 $\overrightarrow{DC},\overrightarrow{EO},\overrightarrow{FA}$;与 $\boldsymbol{c}$ 相等的向量有 $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{ED},\overrightarrow{AB}$.
1.解:相等向量是指长度相等、方向相同的向量,所以题图中与 \(\overrightarrow{BC}\) 相等的向量有 \(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{FE}\). 2.解:与 \(\overrightarrow{BC}\) 长度相等的共线向量有 \(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{FE},\overrightarrow{EF}\). 3.解:由正六边形中,每边与中心连接成的三角形均为正三角形,所以 \(\triangle FOA\) 为等边三角形,所以边长 \(AF = |\boldsymbol{a}| = 1\).