《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

体验1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$，则直线$AB$与直线$CD$平行. （ ）
(2)若$\triangle ABC$是直角三角形，则必有$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0$. （ ）
(3)$\triangle ABC$中，若$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}^{2}=0$，则$\triangle ABC$为等边三角形. （ ）
(4)$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$. （ ）

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√

体验2.已知平面内四边形$ABCD$和点$O$，若$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{d}$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{d}$，则四边形$ABCD$为 （ ）
A.菱形
B.梯形
C.矩形
D.平行四边形

答案： D

体验3.已知在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，且$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}＜0$，则$\triangle ABC$的形状为 （ ）

A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定

答案： A

体验4.如果一架飞机先向东飞行$200$km，再向南飞行$300$km，设飞机飞行的路程为$s$km，位移为$\vert\boldsymbol{a}\vert$km，则 （ ）
A.$s＞\vert\boldsymbol{a}\vert$
B.$s＜\vert\boldsymbol{a}\vert$
C.$s = \vert\boldsymbol{a}\vert$
D.$s$与$\vert\boldsymbol{a}\vert$不能比较大小

答案： A

体验5.某物体做斜抛运动，初速度$\vert\boldsymbol{v}_{0}\vert = 10$m/s，与水平方向成$60^{\circ}$角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是______m/s.

答案： 5

类型1 向量在平面几何中的应用
【例1】（1）如图，已知$AD$，$BE$，$CF$是$\triangle ABC$的三条高，且交于点$O$，$DG\perp BE$于$G$，$DH\perp CF$于$H$.求证：$HG// EF$.
（2）如图所示，在正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点，求证：$AF\perp DE$.

[尝试解答]

答案：
证明：
(1)
∵$\overrightarrow{DG}\perp\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{BE}$，
∴$\overrightarrow{GD}//\overrightarrow{AC}$.
设$\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OD}(\lambda\neq0)$，则$\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{DG}$. 同理$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{DH}$.
于是$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\lambda(\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{DH})=\lambda\overrightarrow{HG}$，
∴$\overrightarrow{HG}//\overrightarrow{FE}$，即$HG// EF$.
(2)法一　设$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，
又$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\boldsymbol{a}+\frac{\boldsymbol{b}}{2}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\boldsymbol{b}+\frac{\boldsymbol{a}}{2}$，
所以$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{DE}=(\boldsymbol{b}+\frac{\boldsymbol{a}}{2})\cdot(-\boldsymbol{a}+\frac{\boldsymbol{b}}{2})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}^{2}-\frac{3}{4}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\frac{\boldsymbol{b}^{2}}{2}=-\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|^{2}+\frac{1}{2}|\boldsymbol{b}|^{2}=0$.
故$\overrightarrow{AF}\perp\overrightarrow{DE}$，即$AF\perp DE$.
法二　建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则$A(0,0)$，$D(0,2)$，$E(1,0)$，$F(2,1)$，$\overrightarrow{AF}=(2,1)$，$\overrightarrow{DE}=(1,-2)$.
因为$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{DE}=(2,1)\cdot(1,-2)=2 - 2 = 0$，
所以$\overrightarrow{AF}\perp\overrightarrow{DE}$，即$AF\perp DE$.