《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

体验 3.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a = 4，b = 3，C = 60°，则△ABC的面积为$3\sqrt{3}$.

答案： $3\sqrt{3}$

体验 4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$(a + b)^{2}-c^{2}=4$，C = 120°，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
（1）a = 10，b = 20，A = 80°；
（2）a = $2\sqrt{3}$，b = 6，A = 30°.

答案： 解：
(1)$a = 10,b = 20,a ＜ b,A = 80^{\circ}＜90^{\circ}$，
讨论如下：
$\because b\sin A = 20\sin 80^{\circ}＞20\sin 60^{\circ}=10\sqrt{3}$，
$\therefore a ＜ b\sin A$，
$\therefore$本题无解。
(2)$a = 2\sqrt{3},b = 6,a ＜ b,A = 30^{\circ}＜90^{\circ}$，
$\because b\sin A = 6\sin 30^{\circ}=3,a ＞ b\sin A$，
$\therefore b\sin A ＜ a ＜ b$，$\therefore$三角形有两解。
由正弦定理得$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{6\sin 30^{\circ}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又$\because B\in(0^{\circ},180^{\circ})$，$\therefore B_1 = 60^{\circ},B_2 = 120^{\circ}$。
当$B_1 = 60^{\circ}$时，$C_1 = 90^{\circ},c_1=\frac{a\sin C_1}{\sin A}=\frac{2\sqrt{3}\sin 90^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 4\sqrt{3}$；
当$B_2 = 120^{\circ}$时，$C_2 = 30^{\circ},c_2=\frac{a\sin C_2}{\sin A}=\frac{2\sqrt{3}\sin 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 2\sqrt{3}$。
$\therefore B_1 = 60^{\circ}$时，$C_1 = 90^{\circ},c_1 = 4\sqrt{3}$；$B_2 = 120^{\circ}$时，$C_2 = 30^{\circ},c_2 = 2\sqrt{3}$。

发现规律
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解；若已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，你认为此时如何确定解的个数？
1.从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
（1）若$\sin B=\frac{b\sin A}{a}＞1$，则满足条件的三角形的个数为0.
（2）若$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=1$，则满足条件的三角形的个数为1.
（3）若$\sin B=\frac{b\sin A}{a}＜1$，则满足条件的三角形的个数需讨论.
显然由$\sin B=\frac{b\sin A}{a}＜1$可得B有两个值，一个大于90°，一个小于90°，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论.
2.从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：
图形 关系式 解的个数
①a = bsin A.
②a≥b 一解
bsin A ＜ a ＜ b 两解
a ＜ bsin A 无解
a ＞ b 一解
a≤b 无解
反思领悟
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A$.

答案： 1.
(1)0
(2)1
(3)1或2 $0＜\sin B=\frac{b\sin A}{a}＜1$