《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

情境与问题
一天，2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子，它们分别朝着自己住的方向拉，已知每只大猴子的拉力是100 N，每只小猴子的拉力是50 N.
问题：你认为这筐桃子往哪边运动？

答案：

知识点 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理

2.基底
若$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$不共线，把$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\}$叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

答案： 知识点 1.不共线向量 $a = \lambda_1e_1 + \lambda_2e_2$

思考：0能与另外一个向量$\boldsymbol{a}$构成基底吗？

答案： 提示：不能.基向量是不共线的，而 $\mathbf{0}$ 与任意向量都共线.

体验1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底. （ ）
（2）基底中的向量可以是零向量. （ ）
（3）平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. （ ）

答案： （1）√ （2）× （3）√

体验2.设$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是 （ ）
A.$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\}$
B.$\{\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},3\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}\}$
C.$\{\boldsymbol{e}_{1},5\boldsymbol{e}_{2}\}$
D.$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\}$

答案： B

体验3.若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，且$l\boldsymbol{a}+m\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$（$l$，$m\in\mathbf{R}$），则$l =$______，$m =$______.

答案： 0 0

体验4.如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，已知$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，若$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$为基底，则$\overrightarrow{AD}=$______.

答案： $\frac{1}{2}(a + b)$