《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例1】（对接教材P₁₀₈例1）（1）如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A'B'C'D'中，顶点B'到x'轴的距离为____.
（2）用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图.

[尝试解答]

答案：
（1）$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）解：画法：①在下图①中作$AG\perp x$轴于$G$，作$DH\perp x$轴于$H$.
②在图②中画相应的$x'$轴与$y'$轴，两轴相交于点$O'$，使$\angle x'O'y' = 45^{\circ}$.
③在图②中的$x'$轴上取$O'B' = OB$，$O'G' = OG$，$O'C' = OC$，$O'H' = OH$，$y'$轴上取$O'E'=\frac{1}{2}OE$，分别过$G'$和$H'$作$y'$轴的平行线，并在相应的平行线上取$G'A'=\frac{1}{2}GA$，$H'D'=\frac{1}{2}HD$；
④连接$A'B'$，$A'E'$，$E'D'$，$D'C'$，并擦去辅助线$G'A'$，$H'D'$，$x'$轴与$y'$轴，便得到水平放置的正五边形$ABCDE$的直观图$A'B'C'D'E'$（如图③）.

类型2 画空间几何体的直观图
【例2】画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm）
[尝试解答]

答案：
解：画法：（1）画轴.画$x'$轴、$y'$轴、$z'$轴，使$\angle x'O'y' = 45^{\circ}$，$\angle x'O'z' = 90^{\circ}$.

（2）画底面.根据$x'$轴，$y'$轴，画正六边形的直观图$ABC - DEF$.
（3）画侧棱.过$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$各点分别作$z'$轴的平行线，在这些平行线上分别截取$AA'$，$BB'$，$CC'$，$DD'$，$EE'$，$FF'$都等于侧棱长2 cm.
（4）成图.顺次连接$A'$，$B'$，$C'$，$D'$，$E'$，$F'$，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图.

类型3 直观图的还原与计算
【例3】（1）如图①，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=√2，则这个平面图形的面积是 （ ）
A.1 B.√2 C.2√2 D.4√2
（2）如图②所示，梯形A₁B₁C₁D₁是一平面图形ABCD的直观图.若A₁D₁//O'y'，A₁B₁//C₁D₁，A₁B₁=2/3C₁D₁=2，A₁D₁=O'D₁=1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
[尝试解答]


母题探究
1.本例(1)中直观图中△O'A'B'的面积与原图形面积之比是多少？

2.本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC = 45°，AB = AD = 1，DC⊥BC，求原图形的面积.

答案：
（1）C（2）解：如图，建立直角坐标系$xOy$，在$x$轴上截取$OD = O'D_1 = 1$，$OC = O'C_1 = 2$. 在过点$D$与$y$轴平行的直线上截取$DA = 2D_1A_1 = 2$.在过点$A$与$x$轴平行的直线上截取$AB = A_1B_1 = 2$.连接$BC$，便得到了原图形（如图）.由作法可知，原四边形$ABCD$是直角梯形，上、下底长度分别为$AB = 2$，$CD = 3$，直角腰长度为$AD = 2$.所以面积为$S=\frac{2 + 3}{2}\times2 = 5$.
@@$\frac{S_{\triangle OA'B'}}{S_{\triangle OAB}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
@@$2+\frac{\sqrt{2}}{2}$