《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例1】一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下（单位：cm）：
6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6
5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8
6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5
6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4
6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4
6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6
5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0
5.6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7
5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0
6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3
根据上面的数据列出频率分布表，绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm的麦穗所占的百分比.
[尝试解答]

答案：
解：
(1)计算极差：7.4 - 4.0 = 3.4.
(2)决定组距与组数：
若取组距为 0.3，因为$\frac{3.4}{0.3}\approx11.3$，需分为 12 组，组数合适，所以取组距为 0.3，组数为 12.
(3)决定分点：
使分点比数据多一位小数，并且把第 1 小组的起点稍微减小一点，那么所分的 12 个小组可以是 3.95～4.25，4.25～4.55，4.55～4.85，…，7.25～7.55.
(4)列频率分布表：
|分组|频数|频率|
|----|----|----|
|[3.95,4.25)|1|0.01|
|[4.25,4.55)|1|0.01|
|[4.55,4.85)|2|0.02|
|[4.85,5.15)|5|0.05|
|[5.15,5.45)|11|0.11|
|[5.45,5.75)|15|0.15|
|[5.75,6.05)|28|0.28|
|[6.05,6.35)|13|0.13|
|[6.35,6.65)|11|0.11|
|[6.65,6.95)|10|0.10|
|[6.95,7.25)|2|0.02|
|[7.25,7.55]|1|0.01|
|合计|100|1.00|
(5)绘制频率分布直方图如图.

从表中看到，样本数据落在 5.75～6.35 cm 的频率是 0.28 + 0.13 = 0.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在 5.75～6.35 cm 的麦穗约占 41%.

【例2】（对接教材P197练习T1）为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110次以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
（3）样本容量 = 相应频数/频率

答案： 解：
(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为$\frac{4}{2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3}=0.08$.
又因为第二小组的频率 = $\frac{第二小组的频数}{样本容量}$，
所以样本容量 = $\frac{第二小组的频数}{第二小组的频率}=\frac{12}{0.08}=150$.
(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为$\frac{17 + 15 + 9 + 3}{2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3}\times100\% = 88\%$.
发现规律
(1)频率
(2)1

答案： （1）频率  （2）1

【例3】如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到3月10日最低气温（单位：℃）的扇形统计图.
[尝试解答]

母题探究
若本例中条件不变，绘制该市3月1日到3月10日最低气温（单位：℃）的条形统计图.

答案：
解：该城市 3 月 1 日至 3 月 10 日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
|日期|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|最低气温/℃|-3|-2|0|-1|1|2|0|-1|2|2|
其中最低气温为 - 3℃的有 1 天，占 10%，最低气温为 - 2℃的有 1 天，占 10%，最低气温为 - 1℃的有 2 天，占 20%，最低气温为 0℃的有 2 天，占 20%，最低气温为 1℃的有 1 天，占 10%，最低气温为 2℃的有 3 天，占 30%，扇形统计图如图所示.

母题探究
解：该城市 3 月 1 日到 3 月 10 日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
|日期|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|最低气温/℃|-3|-2|0|-1|1|2|0|-1|2|2|
其中最低气温为 - 3℃的有 1 天，最低气温为 - 2℃的有 1 天，最低气温为 - 1℃的有 2 天，最低气温为 0℃的有 2 天，最低气温为 1℃的有 1 天，最低气温为 2℃的有 3 天.条形统计图如图所示