《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

【例3】在复数范围内解下列方程.
(1)$x^2 + 5 = 0$；
(2)$x^2 + 4x + 6 = 0$.
[尝试解答]

答案：
(1)方程$x^2 + 5 = 0$的根为$\pm\sqrt{5}i$
(2)方程$x^2 + 4x + 6 = 0$的根为$x = -2\pm\sqrt{2}i$

【例4】(1)已知复数$z = \frac{\sqrt{3} + i}{(1 - \sqrt{3}i)^2}$，$\overline{z}$是z的共轭复数，则$z\cdot\overline{z}$等于（ ）
A.$\frac{1}{4}$ B.$\frac{1}{2}$ C.1 D.2
(2)已知复数z满足$|z| = \sqrt{5}$，且$(1 - 2i)z$是实数，求$\overline{z}$.
[尝试解答]
母题探究
1.在题设(1)条件不变的情况下，求$\frac{z}{\overline{z}}$.
2.把题设(2)的条件“$(1 - 2i)z$是实数”换成“$(1 - 2i)z$是纯虚数”，求$\overline{z}$.

答案：
(1)A
(2)$\overline{z}=1 - 2i$或$\overline{z}=-1 + 2i$