《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5+$\sqrt{-15}$和5-$\sqrt{-15}$”就可以满足要求：
(5+$\sqrt{-15}$)+(5-$\sqrt{-15}$)=5+5=10，
(5+$\sqrt{-15}$)(5-$\sqrt{-15}$)
=5×5-$\sqrt{-15}$×$\sqrt{-15}$
=25-(-15)
=40.
问题：$\sqrt{-15}$能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？

答案：

知识点1 复数的概念及其表示
1.复数的定义
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做____，其中i叫做_____.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做_____定i·i=i²=-1.

答案： 知识点1　1.复数　虚数单位　复数集　-1
　

2.复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈_.__以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫作复数z的_____

答案： 2.R　实部与虚部

思考（1）复数z=3+2i的虚部是2i还是2？
（2）实数5是复数吗？其虚部是什么？

答案： 思考　提示:
(1)虚部是2;
(2)5是复数，虚部为0.

体验1.复数z=2+5i的实部等于___，虚部等于____.

答案： 体验1　2　5

体验2.若复数z=(2a - 1)+(3+a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a=-___.
数系的扩充和复数的概念

答案： 　体验2　4

知识点2 复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当_且____b_.__

答案： 知识点2　$a = c$ $b = d$

体验3.已知x,y∈R，若x+3i=(y - 2)i，则x+y=___.

答案： 　体验3　5

知识点3 复数的分类
（1）复数a+bi(a,b∈R)

(2)复数集、实数集、

虚数集、纯虚数集之

间的关系如图所示.

答案： 知识点3　
(1)$b = 0$　虚数　$a\neq0$
　

答案： 体验4　$1 + i,\pi i,\sqrt{3}+2i,\frac{1}{3}-\sqrt{3}i,\frac{\pi}{3}i$ $\pi i,\frac{\pi}{3}i$