《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

体验2.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（ ）
A.简单随机抽样
B.抽签法
C.随机数表法
D.分层随机抽样

答案： D

体验3.某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ）
A.高一学生被抽到的可能性最大
B.高二学生被抽到的可能性最大
C.高三学生被抽到的可能性最大
D.每位学生被抽到的可能性相等

答案： D

体验4.某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取______名学生.

答案： 40

知识点2 分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
| |1层|2层|
|--|--|--|
|层个体数|M|N|
|层样本量|m|n|
|层个体变量值|$X_1,X_2,\cdots,X_M$|$Y_1,Y_2,\cdots,Y_N$|
|层样本的个体变量值|$x_1,x_2,\cdots,x_m$|$y_1,y_2,\cdots,y_n$|
|层总体平均数|$\overline{X}=\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_M}{M}=\frac{1}{M}\sum_{i = 1}^{M}X_i$|$\overline{Y}=\frac{Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_N}{N}=\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}Y_i$|
|层样本平均数|$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_m}{m}=\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}x_i$|$\overline{y}=\frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_m}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}y_i$|
|总体平均数|$\overline{W}=\frac{\sum_{i = 1}^{M}X_i+\sum_{i = 1}^{N}Y_i}{M + N}$| |
|样本平均数|$\overline{w}=\frac{\sum_{i = 1}^{m}x_i+\sum_{i = 1}^{n}y_i}{m + n}$| |

答案：

思考2.（1）可以用$\frac{M\times\overline{x}+N\times\overline{y}}{M + N}=\frac{M}{M + N}\overline{x}+\frac{N}{M + N}\overline{y}$估计总体平均数$\overline{W}$吗？
（2）在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数$\overline{w}$估计总体平均数$\overline{W}$吗？

答案： 思考2 提示：
(1)可以，因为用第1层的样本平均数$\overline{x}$可以估计第1层的总体平均数$\overline{X}$，用第2层的样本平均数$\overline{y}$可以估计第2层的总体平均数$\overline{Y}$. 因此可以用$\frac{M\times\overline{x}+N\times\overline{y}}{M + N}=\frac{M}{M + N}\overline{x}+\frac{N}{M + N}\overline{y}$估计总体平均数$\overline{W}$.
(2)在比例分配的分层随机抽样中，$\frac{m}{M}=\frac{n}{N}=\frac{m + n}{M + N}$，可得$\frac{M}{M + N}\overline{x}+\frac{N}{M + N}\overline{y}=\frac{m}{m + n}\overline{x}+\frac{n}{m + n}\overline{y}=\overline{w}$. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数$\overline{w}$估计总体平均数$\overline{W}$.

体验5.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高为（ ）
A.1.57 m
B.1.56 m
C.1.55 m
D.1.54 m

答案： B