《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

知识点 平面向量数乘运算的坐标表示
1.数乘运算的坐标表示
(1)符号表示:已知$\boldsymbol{a}=(x,y)$，则$\lambda\boldsymbol{a}=$_______.
(2)文字描述:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的_______.

答案： (\lambda x,\lambda y)
@@相应坐标

2.平面向量共线的坐标表示
(1)设$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，其中$\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共线的充要条件是存在实数$\lambda$，使_______.
(2)如果用坐标表示，向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0})$共线的充要条件是_______.

答案： $\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$
@@$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$

思考 两向量$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$共线的坐标条件能表示成$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$吗？

答案： 提示:不一定,$x_2,y_2$有一者为零时,比例式没有意义,只有$x_2y_2\neq0$时,才能使用.

体验1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线，则$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$. （ ）
(2)若$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，且$x_1y_2\neq x_2y_1$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线. （ ）
(3)若$A$，$B$，$C$三点共线，则向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$都是共线向量. （ ）

答案：
(1)×
(2)√
(3)√

体验2.已知$P(2,6)$，$Q(-4,0)$，则$PQ$的中点坐标为_______.

答案： $(-1,3)$

体验3.已知$\boldsymbol{a}=(-3,2)$，$\boldsymbol{b}=(6,y)$，且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$y=$_______.

答案： -4

体验4.若$A(3,-6)$，$B(-5,2)$，$C(6,y)$三点共线，则$y=$_______.

答案： -9

【例1】（对接教材$P_{31}$例6）（1）已知$A(2,4)$，$B(-1,-5)$，$C(3,-2)$，则$\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}=$（ ）
A.$(2,-3)$ B.$(-2,-3)$
C.$(-2,3)$ D.$(2,3)$
（2）已知向量$\boldsymbol{a}=(-3,2)$，$\boldsymbol{b}=(-1,0)$，$\boldsymbol{c}=(2,1)$则$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}-3\boldsymbol{c}$的坐标是_______.

答案：
(1)A
(2)$(-11,-1)$

【例2】（1）下列各组向量中，共线的是（ ）
A.$\boldsymbol{a}=(-2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,6)$
B.$\boldsymbol{a}=(2,3)$，$\boldsymbol{b}=(3,2)$
C.$\boldsymbol{a}=(1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(7,14)$
D.$\boldsymbol{a}=(-3,2)$，$\boldsymbol{b}=(6,-4)$
（2）已知$A(-1,-1)$，$B(1,3)$，$C(1,5)$，$D(2,7)$，向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$平行吗？直线$AB$平行于直线$CD$吗？

答案：
(1)D
(2)解:$\because\overrightarrow{AB}=(1 - (-1),3 - (-1))=(2,4)$，
$\overrightarrow{CD}=(2 - 1,7 - 5)=(1,2)$.
又$2\times2 - 4\times1 = 0$，
$\therefore\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$.
又$\overrightarrow{AC}=(2,6),\overrightarrow{AB}=(2,4)$，
$\therefore2\times4 - 2\times6\neq0$，
$\therefore A,B,C$不共线，
$\therefore AB$与$CD$不重合，
$\therefore AB// CD$.