《2025年同步实践评价课程基础训练高中数学必修第二册》

体验4.已知高为3的棱柱ABC - A₁B₁C₁的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B₁-ABC的体积为（ ）


A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{4}$

答案： D

类型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
【例1】如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO₁，且PO＝3PO₁.当PO₁＝2 m，PA₁＝4 m时，求帐篷的表面积.
[尝试解答]
反思领悟
求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.

答案： $(6\sqrt{39}+48\sqrt{3})m^{2}$

类型2 棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】（对接教材P₁₁₅例2）如图，正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为a.截面A₁DB将正方体分成两部分，其体积分别为V₁，V₂，且V₂＞V₁.求：
（1）V₁，V₂以及V₁∶V₂；
（2）点A到平面A₁BD的距离d.
[尝试解答]
母题探究
若本例中的正方体改为长方体，则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化？试证明你的结论.

答案：
(1)$V_{1}=\frac{1}{6}a^{3},V_{2}=\frac{5}{6}a^{3},V_{1}:V_{2}=1:5$
(2)$\frac{\sqrt{3}}{3}a$
母题探究
　解:比值没发生变化,证明如下，不妨设在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = a$，$AD = b$，$AA_{1}=c$.截面将长方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥$A_{1}-ABD$，底面$\triangle ABD$是两直角边分别为$a$，$b$的直角三角形,其面积$S=\frac{1}{2}\times AB\times AD=\frac{1}{2}ab$.底面$ABD$上的高$h = AA_{1}=c$，所以其体积$V_{1}=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}ab\times c=\frac{1}{6}abc$.长方体的体积$V = abc$，所以$V_{2}=V - V_{1}=abc-\frac{1}{6}abc=\frac{5}{6}abc$.所以$V_{1}:V_{2}=1:5$，故比值没发生变化.

类型3 与正棱柱、正棱锥、正棱台有关的体积和表面积问题
【例3】一个正四棱锥的底面边长为3$\sqrt{2}$ cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为______ cm³，表面积为________ cm².
[尝试解答]

答案： $24$ $18 + 6\sqrt{41}$