《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

1. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 在第一象限内，AD//y 轴，点 A 的坐标为(5,3)，已知直线 l：$y = \frac{1}{2}x - 2$.（M8204003）
(1) 将直线 l 向上平移 m(m＞0)个单位，使平移后的直线恰好经过点 A，求 m 的值.
(2) 在(1)的条件下，平移后的直线与正方形的边 BC 交于点 E，求△ABE 的面积.

答案： **解析**\n（1）设平移后的直线解析式为$y = \frac{1}{2}x + b(b\neq - 2)$，
因为直线$y=\frac{1}{2}x + b$过点$A(5,3)$，所以$3=\frac{1}{2}\times5 + b$，
解得$b=\frac{1}{2}$，所以平移后的直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，
则$m=\frac{1}{2}-(-2)=\frac{5}{2}$。\n（2）因为正方形$ABCD$的边长为$2$，$AD// y$轴，点$A$的坐标为$(5,3)$，所以$B(3,3)$，点$E$的横坐标为$5 - 2 = 3$。把$x = 3$代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$y=\frac{1}{2}\times3+\frac{1}{2}=2$，所以点$E$的坐标为$(3,2)$，所以$BE = 1$，所以$\triangle ABE$的面积$=\frac{1}{2}\times2\times1 = 1$。

2. 如图，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 C 的坐标为(-5,4)，点 D 在 y 轴的正半轴上，经过点 A 的直线$y = \frac{1}{2}x - 1$与 y 轴交于点 E，将直线 AE 沿 y 轴向上平移 n(n＞0)个单位长度后，得到直线 l，直线 l 恰好经过点 C.（M8204003）
(1) 求点 A 和点 B 的坐标以及直线 l 经过点 C 时的函数表达式.
(2) 若直线 l 交 y 轴于点 F，设△CDF 的面积为 S(这里规定：三角形不存在时，面积视为 0)，求 S 与 n 之间的函数关系式，并写出 n 的取值范围.

答案： **解析**\n（1）对于一次函数$y=\frac{1}{2}x - 1$，令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x-1 = 0$，所以$x = 2$，所以$A(2,0)$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$。因为点$C$的坐标为$(-5,4)$，点$D$在$y$轴的正半轴上，所以$CD = AB = 5$，所以$B(-3,0)$。因为直线$AE$沿$y$轴向上平移得到直线$l$，设直线$l$经过点$C$时的解析式为$y=\frac{1}{2}x + k(k\neq - 1)$，把$(-5,4)$代入得$4=\frac{1}{2}\times(-5)+k$，解得$k=\frac{13}{2}$，所以直线$l$经过点$C$时的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}$。\n（2）将直线$AE$沿$y$轴向上平移$n(n\gt0)$个单位长度后，得到直线$l:y=\frac{1}{2}x - 1 + n$，此时直线$l$与$y$轴的交点$F$的坐标为$(0,n - 1)$，因为点$C$的坐标为$(-5,4)$，点$D$在$y$轴的正半轴上，所以$D(0,4)$，由$y=\frac{1}{2}x - 1$可知$E(0,-1)$，所以$DE = 5$，当直线$l$经过点$C$时，由$\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}=\frac{1}{2}x - 1 + n$得$n=\frac{15}{2}$，所以$0\lt n\leqslant\frac{15}{2}$。当$0\lt n\leqslant5$时，$S=\frac{1}{2}\times5\times(4 - n + 1)=\frac{25 - 5n}{2}$；当$5\lt n\leqslant\frac{15}{2}$时，$S=\frac{1}{2}\times5\times(n - 1 - 4)=\frac{5n - 25}{2}$。综上所述，$S=\begin{cases}\frac{25 - 5n}{2}(0\lt n\leqslant5)\\\frac{5n - 25}{2}(5\lt n\leqslant\frac{15}{2})\end{cases}$，$n$的取值范围是$0\lt n\leqslant\frac{15}{2}$。

3. [新考向·新定义试题] 因为一次函数 y = kx + b 与 y = -kx + b(k≠0)的图象关于 y 轴对称，所以我们定义：函数 y = kx + b 与 y = -kx + b(k≠0)互为“镜子”函数.（M8204003）
(1) 请直接写出函数 y = 3x - 2 的“镜子”函数：____________.
(2) 如果一对“镜子”函数 y = kx + b 与 y = -kx + b(k＞0)的图象交于点 A，且分别与 x 轴交于 B、C 两点，如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，且它的面积是 16，求这对“镜子”函数的解析式.

答案： **解析**\n（1）$y=-3x - 2$。\n（2）因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$AO\perp BC$，所以$AO = BO = CO$，
设$AO = BO = CO = x$，根据题意可得$\frac{1}{2}x\cdot2x = 16$，
解得$x = 4$（舍负），则$B(-4,0)$，$C(4,0)$，$A(0,4)$，
将$B$，$A$的坐标分别代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}-4k + b = 0\\b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 4\end{cases}$，
所以这对“镜子”函数的解析式为$y = x + 4$和$y=-x + 4$。