《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

14.推理能力 如图1，BD、CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，分别与直线BC相交于M、N.

（1）求证：FG = $\frac{1}{2}(AB + BC + AC)$.
（2）如图2，若BD、CE是△ABC的内角平分线，其他条件不变，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.
（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，请直接写出线段FG与△ABC的三边的数量关系.

答案： 解析
(1)证明:
∵BD⊥AF,
∴∠AFB = ∠MFB = 90°,
∵BD平分∠ABM,
∴∠ABF = ∠MBF,
在△ABF和△MBF中,$\begin{cases}∠AFB = ∠MFB,\\BF = BF,\\∠ABF = ∠MBF,\end{cases}$
∴△ABF≌△MBF(ASA),
∴MB = AB,AF = MF,
同理可得CN = AC,AG = NG,
∴FG是△AMN的中位线,
∴FG = $\frac{1}{2}$MN = $\frac{1}{2}$(MB + BC + CN)= $\frac{1}{2}$(AB + BC + AC).
(2)猜想:FG = $\frac{1}{2}$(AB + AC - BC).
理由:
∵AF⊥BD,
∴∠AFB = ∠MFB = 90°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABF = ∠MBF,
在△ABF和△MBF中,$\begin{cases}∠AFB = ∠MFB,\\BF = BF,\\∠ABF = ∠MBF,\end{cases}$
∴△ABF≌△MBF(ASA),
∴AB = MB,AF = MF,同理可得CN = AC,AG = NG,
∴FG是△AMN的中位线,
∴FG = $\frac{1}{2}$MN = $\frac{1}{2}$(BM + CN - BC)= $\frac{1}{2}$(AB + AC - BC),
∴线段FG与△ABC的三边的数量关系是FG = $\frac{1}{2}$(AB + AC - BC).
(3)FG = $\frac{1}{2}$(AC + BC - AB).

例 （2023湖南株洲荷塘期中）在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是________.

答案：
答案 $\frac{12}{5}$
解析 如图,连接CM,
∵D、E分别为CN、MN的中点,
∴DE = $\frac{1}{2}$CM,
当CM⊥AB时,CM的值最小(垂线段最短),此时DE有最小值.
∵∠ACB = 90°,AC = 6,BC = 8,
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = 10,
当CM⊥AB时,$\frac{1}{2}$AC·BC = $\frac{1}{2}$AB·CM,
∴CM = $\frac{24}{5}$,
∴DE = $\frac{1}{2}$CM = $\frac{12}{5}$.

1.改变问题情境（2024湖南邵阳新邵三模）如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的动点，R是边CD上的定点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长__________.（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）

答案： 答案 不变
解析
∵E,F分别是AP,RP的中点,
∴EF是△APR的中位线,
∴EF = $\frac{1}{2}$AR,
∵R是边CD上的定点,
∴线段AR的长不变,
∴线段EF的长不变.

2.变为求最大值 如图，△ABC和△ABE是等腰三角形，AB = BC = BE = 2，∠ABC = 120°，E为一动点，D为AE的中点，连接CD，则线段CD的最大值为______.

答案：
答案 $\sqrt{7}+1$
解析 取AB的中点G,连接DG,CG,过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H,如图,
∵D是AE的中点,G是AB的中点,
∴DG是△ABE的中位线,
∴DG = $\frac{1}{2}$BE,
∵AB = BC = BE = 2,
∴DG = 1,BG = 1,
∵∠ABC = 120°,
∴∠CBH = 180° - 120° = 60°,
∵CH⊥BH,
∴∠CHB = 90°,
∴∠BCH = 90° - 60° = 30°,
∴BH = $\frac{1}{2}$BC = 1,
∴CH = $\sqrt{BC^{2}-BH^{2}}$ = $\sqrt{3}$,HG = BG + BH = 1 + 1 = 2,
在Rt△CHG中,CG = $\sqrt{CH^{2}+HG^{2}}$ = $\sqrt{7}$,
∵CG - DG≤CD≤DG + CG,
∴$\sqrt{7}-1$≤CD≤$\sqrt{7}+1$,
当且仅当点G在线段CD上时,CD取最大值,为$\sqrt{7}+1$.