《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

14.(2024湖南长沙一中教育集团期中,24,★★★)我们将经过某一共同点$(a,b)$的所有一次函数叫作经过该点的“直线系”,这个点叫作该“直线系”的“特征点”,经过“特征点”$(a,b)$的“直线系”解析式可以统一表示为$y = k(x - a) + b$,其中$k$叫作直线的“斜率”($k$为常数且$k\neq0$).
例如:经过点$(1,2)$的“直线系”解析式可以表示为$y = k(x - 1) + 2 = kx - k + 2$.(M8204004)
(1)试求“直线系”$y = kx + 2k + 3$的“特征点”坐标.
(2)“特征点”坐标为$(2,5)$的“直线系”中,有直线满足当$1\leq x\leq3$时,$y$的取值范围恰好为$3\leq y\leq7$,求该直线的解析式.
(3)点$(t,c - 2b)$在经过“特征点”$(2,0)$且斜率$k＞0$的直线上,其中$b,c$满足$b + c = -k$,且$2k＞b＞c$,求$t$的取值范围.

答案： 解析
(1)
∵y = kx + 2k + 3 = k(x + 2) + 3，
∴当 x = -2 时，y = 3 恒成立，
∴直线 y = kx + 2k + 3 恒过定点(-2,3)，故“特征点”坐标为(-2,3).
(2)设“特征点”坐标为(2,5)的“直线系”解析式为 y = k(x - 2) + 5(k ≠ 0)，由题意可得，①当 x = 1，y = 3 时，代入可得 3 = -k + 5，
∴k = 2，
∴直线解析式为 y = 2x + 1.经验证，点(3,7)在该直线上.②当 x = 1，y = 7 时，代入可得 7 = -k + 5，
∴k = -2，
∴直线解析式为 y = -2x + 9.经验证，点(3,3)在该直线上.
∴该直线的解析式为 y = 2x + 1 或 y = -2x + 9.
(3)
∵“特征点”坐标为(2,0)，
∴“直线系”解析式为 y = k(x - 2)，把(t,c - 2b)代入得 c - 2b = k(t - 2)，
∵b + c = -k，
∴c = -b - k，
∴ -b - k - 2b = k(t - 2)，
∴b = $\frac{k(1 - t)}{3}$，
∴c = $\frac{k(t - 4)}{3}$，
∵2k ＞ b ＞ c，
∴2k ＞ $\frac{k(1 - t)}{3}$ ＞ $\frac{k(t - 4)}{3}$，又 t ＞ 0，
∴ -5 ＜ t ＜ $\frac{5}{2}$.

15.几何直观(2024湖南娄底二中期中)如图,一次函数$y_1 = 2x - 2$的图象与$y$轴交于点$A$,一次函数$y_2$的图象与$y$轴交于点$B(0,6)$,点$C$为两函数图象的交点,且点$C$的横坐标为 2.(M8204004)
(1)求一次函数$y_2$的函数解析式.
(2)求$\triangle ABC$的面积.
(3)在坐标轴上,是否存在一点$P$,使得$S_{\triangle ACP} = 2S_{\triangle ABC}$?若存在,请写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 解析
(1)把 x = 2 代入 y_{1} = 2x - 2 中，得 y_{1} = 2，
∴C(2,2)，设 y_{2} = kx + b(k ≠ 0)，把(0,6)，(2,2)代入可得$\begin{cases}b = 6 \\ 2k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 6\end{cases}$，
∴y_{2} = -2x + 6.
(2)
∵一次函数 y_{1} = 2x - 2 的图象与 y 轴交于点 A，
∴令 x = 0，得 y_{1} = -2，
∴A(0,-2)，
∴S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$×(6 + 2)×2 = 8.
(3)存在.由题意得 S_{△ACP} = 2S_{△ABC} = 2×8 = 16.①当 P 在 y 轴上时，$\frac{1}{2}$|AP|·x_{C} = 16，即$\frac{1}{2}$|AP|×2 = 16，
∴|AP| = 16，
∵A(0,-2)，
∴点 P 的坐标为(0,14)或(0,-18)；②当 P 在 x 轴上时，设直线 y_{1} = 2x - 2 与 x 轴交于点 D，令 y_{1} = 0，则 x = 1，
∴D(1,0)，
∴S_{△ACP} = S_{△PCD} + S_{△ADP} = $\frac{1}{2}$|PD|·|y_{C}| + $\frac{1}{2}$|PD|·|y_{A}| = 16，
∴$\frac{1}{2}$|PD|×(2 + 2) = 16，
∴|PD| = 8，
∵D(1,0)，
∴点 P 的坐标为(-7,0)或(9,0).综上，在坐标轴上，存在点 P，使得 S_{△ACP} = 2S_{△ABC}，此时点 P 的坐标为(0,14)或(0,-18)或(-7,0)或(9,0).