《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

1.(2024湖南湘潭岳塘期中)如图,添加下列条件,不一定能使□ABCD成为菱形的是 ( )

A.AB = AD
B.AC⊥BD
C.∠ABD = ∠CBD
D.AC = BD

答案： 对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，故 $AC = BD$ 不一定能使 $\square ABCD$ 成为菱形。

2.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是 ( )

答案： 选项A. 由作图可知直线 $AC$ 是线段 $BD$ 的垂直平分线，$\therefore AB = AD$，设 $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $O$，则 $OB = OD$。易知 $AD// BC$，$\therefore\angle ADO=\angle CBO$，$\because\angle AOD=\angle COB$，$\therefore\triangle AOD\cong\triangle COB$，$\therefore AD = BC$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，又 $\because AB = AD$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，不符合题意。选项B. 由作图可知 $AB = BC$，$AD = AB$，$\therefore BC = AD$，又 $\because BC// AD$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\because AB = BC$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，不符合题意。选项C. 由作图可知 $AB$、$CD$ 是角平分线，只能得出四边形 $ABCD$ 是平行四边形，符合题意。选项D. 由作图可知 $\angle DAC=\angle CAB$，$\angle DCA=\angle ACB$，$\because AD// BC$，$\therefore\angle DAC=\angle ACB$，$\therefore\angle DAC=\angle CAB=\angle DCA$，$\therefore AB// CD$，$AD = DC$，结合 $AD// BC$ 可得四边形 $ABCD$ 是菱形，不符合题意。故选C。

3.如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD______菱形(填“是”或“不是”).

答案：
答案：是
解析：如图，过点 $A$ 作 $AE\perp BC$ 于点 $E$，$AF\perp DC$ 于点 $F$，$\because AB// CD$，$AD// BC$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，由题意知 $AE = AF$，$\because S_{\square ABCD}=BC\cdot AE = DC\cdot AF$，$\therefore BC = DC$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形。

4.(2024湖南娄底二中一模)如图,在平行四边形ABCD中,AB = AD,E,F是对角线BD上的两点,且BE = DF,连接AE,CF,AF,CE,求证:四边形AFCE是菱形.

答案：
证明：如图，设 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，$\because AB = AD$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AC\perp BD$，$AO = CO$，$BO = DO$，$\because BE = DF$，$\therefore BO - BE = DO - DF$，即 $EO = FO$，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形，又 $\because AC\perp BD$，$\therefore$ 平行四边形 $AFCE$ 是菱形。

5.面积法 教材变式·P70T3 如图,在四边形ABCD中,∠BAC = 90°,E是BC的中点,AD//BC,AE//DC,EF⊥CD于点F.(M8202005)
(1)求证:四边形AECD是菱形.
(2)若AB = 3,AC = 4,求EF的长.

答案：
解析：
(1) 证明：$\because AD// BC$，$AE// DC$，$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形，$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$E$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore AE = CE=\frac{1}{2}BC$，$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是菱形。
(2) 过点 $A$ 作 $AH\perp BC$ 于点 $H$，如图，
$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$AC = 4$，$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}} = 5$，$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot AC$，$\therefore AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{12}{5}$，$\because$ 四边形 $AECD$ 是菱形，$\therefore CD = CE$，$\because S_{菱形 AECD}=CE\cdot AH = CD\cdot EF$，$\therefore EF = AH=\frac{12}{5}$。

6.(2024贵州部分学校一模,21,★★☆)将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图所示的方式放置,BD为重叠部分(图中阴影部分)的对角线,重叠部分为四边形DHBG.
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形,并说明理由.
(2)若AB = 8,AD = 4,求四边形DHBG的面积.

答案： 解析：
(1) 四边形 $DHBG$ 是菱形. 理由如下：
$\because$ 四边形 $ABCD$、$FBED$ 是完全相同的矩形，$\therefore AD = ED$，$\angle A=\angle E = 90^{\circ}$，$AB = EB$。$\therefore\triangle DAB\cong\triangle DEB(SAS)$，$\therefore\angle ABD=\angle EBD$。$\because AB// CD$，$DF// BE$，$\therefore$ 四边形 $DHBG$ 是平行四边形，$\angle HDB=\angle EBD$，$\therefore\angle HDB=\angle HBD$，$\therefore DH = BH$，$\therefore$ 平行四边形 $DHBG$ 是菱形。
(2) 设 $DH = BH = x$，则 $AH = 8 - x$，在 $Rt\triangle ADH$ 中，$AD^{2}+AH^{2}=DH^{2}$，即 $4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，解得 $x = 5$，即 $BH = 5$，$\therefore S_{菱形 DHBG}=HB\cdot AD = 5\times4 = 20$。