《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

7.(2024湖南长沙岳麓模拟，15，★☆☆)如图，$\triangle DEC$与$\triangle ABC$关于点$C$成中心对称，若$AB = 3$，$AC = 1$，$\angle D = 90^{\circ}$，则$AE$的长是______.

答案： 答案 $\sqrt{13}$
解析
∵ △DEC 与 △ABC 关于点 C 成中心对称，
∴ △ABC≌△DEC，
∴ AB = DE = 3，AC = DC = 1，
∴ AD = 2，
∵ ∠D = 90°，
∴ $AE=\sqrt{DE^{2}+AD^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$.

8.(2024陕西咸阳三模，13，★☆☆)如图，在平行四边形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 8$，线段$EF$与线段$MN$相交于平行四边形$ABCD$的对称中心$O$，且将平行四边形$ABCD$的面积分成相等的四份，若$AM = 2$，则$BE =$______.

答案：
答案 $\frac{3}{2}$
解析 如图，连接 AC，BD，
∵ 点 O 为平行四边形 ABCD 的对称中心，
∴ AC 与 BD 相交于点 O.
∵ AC 与 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，
∴ $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOD}=\frac{1}{4}S_{平行四边形ABCD}$.
过点 O 分别作 AB，AD 的垂线，垂足分别为 P，Q，
∴ $\frac{1}{2}AB\cdot OP=\frac{1}{2}AD\cdot OQ$.
∵ AB = 6，AD = BC = 8，
∴ 3OP = 4OQ，
∴ $\frac{OQ}{OP}=\frac{3}{4}$.
∵ 线段 MN 与线段 EF 将平行四边形 ABCD 的面积分成相等的四份，
∴ $S_{\triangle AOB}=S_{四边形AEOM}$，
即 $S_{\triangle AOE}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle AOM}$，
∴ $S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOM}$，
∴ $\frac{1}{2}BE\cdot OP=\frac{1}{2}AM\cdot OQ$，
∴ $BE=\frac{OQ}{OP}\cdot AM=\frac{3}{4}\times2=\frac{3}{2}$.

9.(2024浙江宁波期中，19，★★☆)如图，4个全等的正方形组成L形图案，请按下列要求画图（画出一种可能的情况即可）：
(1)在图1中添加1个正方形，使它是轴对称图形，但不是中心对称图形.
(2)在图2中添加1个正方形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形.
(3)在图3中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形.

答案：
解析
(1) 如图①、图②、图③所示（画出其中一种图即可）.

(2) 如图④所示.

(3) 如图⑤、图⑥所示（画出其中一种图即可）.

10.(2023贵州遵义模拟，20，★★☆)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$是$BC$边上的中线，$E$是$AD$的中点，点$F$与点$B$关于点$E$对称，连接$AF,DF$.
(1)求证：四边形$ABDF$是平行四边形.
(2)写出一个与$\triangle ABD$面积相等的三角形：______.
(3)若$AC = 6$，$AB = 8$，求$\triangle BDF$的面积.

答案：
解析
(1) 证明：
∵ E 是 AD 的中点，点 F 与点 B 关于点 E 对称，
∴ AE = DE，BE = EF，
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
(2) △BDF(答案不唯一).
(3) 过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，如图所示，
∵ ∠BAC = 90°，AC = 6，AB = 8，
∴ $BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$，
∴ $\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AG$，
即 $\frac{1}{2}\times8\times6=\frac{1}{2}\times10AG$，
∴ AG = 4.8，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ BD = 5，
∴ $S_{\triangle BDF}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times5\times4.8 = 12$，
即 △BDF 的面积为 12.

11.几何直观 阅读与思考：
请阅读下列材料，并完成相应的任务.
观察图中的正六边形，点$O$是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点$O$旋转$60^{\circ}$，旋转后的图形与旋转前的图形重合.
                                             
一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于$360^{\circ}$）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形，这个点叫它的对称中心
任务：(M8202003)
(1)中心对称图形______旋转对称图形.（填“是”或“不是”）
(2)下列图形中，不是旋转对称图形的有______，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有______，旋转$72^{\circ}$能够完全重合的图形有______.（填字母即可）

答案： 解析
(1) 是.
(2) E；A、C；B、D.